I frattali: la misura della curva di Koch

25 settembre 2008

Nel precedente post sui frattali, ci siamo imbattuti nella curva di Koch, un “oggetto geometrico” particolare, che ben rappresenta, almeno idealmente una struttura frattale come, ad esempio un tratto di costa.

Una variante della curva di Koch è il cosiddetto fiocco di neve di Koch, che si ottiene iterando lo sviluppo della curva sui tre lati di un triangolo equilatero.

Cercheremo ora di rispondere al quesito che ci eravamo posti, in merito alla lunghezza della curva di Koch, ragionando sul fiocco di neve, ossia: quanto misura il perimetro del fiocco di neve di Koch?

Scopriremo che la curva avrà una lunghezza infinita, nonostante racchiuda un’area finita! Dopo aver superato il paradosso di Zenone ci troviamo nuovamente davanti ad un inaspettato e paradossale risultato.

Come nei versi di William Blake, riemerge quel tormentato rapporto dell’uomo con l’infinito, indomabile, affascinante e ignoto.

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Il problema di Delo…e non solo

27 agosto 2008

“Un tempo, gli abitanti di Delo, straziati dalla peste, interrogarono l’oracolo di Apollo per porre fine all’epidemia. L’oracolo rispose che per placare l’ira del dio, avrebbero dovuto costruire un’ara cubica più grande, di volume doppio rispetto a quella attuale. Ingenuamente gli abitanti di Delo raddoppiarono i lati dell’ara, ma l’ira del dio fu ancora più tremenda: in questo modo infatti il volume non era raddoppiato, come richiesto, ma cresciuto di ben 8 volte.”

Così ci è stato tramandato il Problema di Delo, nella versione di Teone di Smirne, matematico del II secolo d.C.. Ma il problema affonda le radici molto lontano nel tempo.

Una versione analoga del problema si trova in una lettera di Eratostene di Cirene nel III secolo a.C., il quale congegnò uno strumento meccanico per individuare la soluzione: il mesolabio. Molti altri matematici si cimentarono nella risoluzione del problema: da Ippocrate di Chio, Menecmo e Archita, nel IV secolo a.C. fino a Diocle e Nicomede nel III secolo a.C..

La soluzione di Ippocrate è la più ingegnosa, mentre trovo quella di Menecmo la più moderna ed elegante. Siete pronti?

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Il Paradosso di Zenone

17 luglio 2008

il moto è impossibile perché ciò che si muove deve arrivare allo stadio intermedio prima di arrivare alla meta (Aristotele Fisica VI:9, 239b10).

Nel V secolo a.C. Zenone diede prova di straordinario intuito logico, destabilizzando il pensiero con i suoi paradossi. Poggiando sull’infinita divisibilità dello spazio arrivò a concludere che il moto è un’illusione.

Così la freccia non raggiungerà mai la meta perchè per arrivarvi deve attraversare un numero infinito di punti e Achille non raggiungerà mai la tartaruga alla quale ha concesso il vantaggio, perchè nel tempo in cui colmerà la distanza che li separa questa avrà compiuto un piccolo passo in avanti mantenendo sempre un seppur piccolo vantaggio.

Queste riflessioni paradossali hanno aperto la via a conclusioni tutt’altro che ovvie.
Vediamo di cosa si tratta.

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I frattali: la matematica della natura

26 maggio 2008

Vi sarà sicuramente capitato di notare che le forme geometriche che così bene si prestano a rapporti e formule matematiche, trovano ben poco riscontro nella realtà. Ben diverse e più articolate sono le forme della natura, nei fiori, negli alberi, nel profilo delle montagne.

Bene, proprio da questa considerazione, nascono i famosi frattali.

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Il paradosso di Russell

21 marzo 2008

“In un villaggio c’è un unico barbiere.
Il barbiere rade tutti (e soli) gli uomini che non si radono da soli.
Il barbiere rade sé stesso?”.

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Che ne pensate? Proviamo a rispondere:
1. se il barbiere rade sé stesso, allora per definizione il barbiere non rade sé stesso;
2. se il barbiere non rade sé stesso allora, dato che il barbiere rade tutti quelli che non si radono da soli, il barbiere rade sé stesso.

In entrambi i casi siamo arrivati ad una contraddizione!

E’ il noto Paradosso di Russell, che racconta un problema con il quale si scontrò il famoso filosofo e matematico. Come per Pitagora, l’inaspettato “imprevisto” si presentò sul più bello, proprio quando l’idea di un’opera come i Principia Matematica sembrava essere una costruzione solida e perfetta contenente tutto il sapere matematico.

Ma cosa accade di imprevisto? Per scoprirlo occorre seguire un piccolo ragionamento, che – siete avvisati – potrà causare qualche mal di testa. I più temerari possono comunque continuare a leggere…

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Ippaso di Metaponto: la nascita dei numeri irrazionali

8 febbraio 2008

“Tutto è Numero”

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Il motto di Pitagora sembrava la chiave per svelare i segreti dell’universo, i numeri ed i loro rapporti. Ma il cammino della conoscenza non è mai troppo facile, anzi è impervio ed insidioso. E così saltò fuori un bel problema.

Ci si accorse, a partire dalla semplice figura del quadrato, che il lato e la diagonale avevano lunghezze che non erano esprimibili attraverso un rapporto di due numeri interi. Erano dunque incommensurabili.

Fu un vero e proprio terremoto. Come reagirono i pitagorici? Sicuramente l’atteggiamento non fu dei più lodevoli. Continuarono a divulgare le loro teorie, cercando di tenere nascosto tale aspetto. Magari prima o poi si sarebbe trovata una soluzione, quindi meglio non dire nulla. Ma come spesso succedere, prima o poi la verità viene a galla. E qualcuno parlò.

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