Il teorema di Incompletezza di Godel

19 marzo 2009

“Non domandarci la formula che mondi possa aprirti
sì qualche storta sillaba e secca come un ramo.
Codesto solo oggi possiamo dirti,
ciò che non siamo, ciò che non vogliamo.”

E. Montale – da Ossi di Seppia

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“Questa frase è falsa”

Riuscireste a dimostrarlo? Bene, questa proposizione si dice pertanto indecidibile.

In altre parole, non possiamo stabilire se è vera o falsa, infatti se fosse vera allora sarebbe falsa, mentre se fosse falsa allora sarebbe vera. Insomma, l’unico modo per risolvere la questione è trovare nuovi assiomi che possano completare il nostro sistema logico.

Analogamente alla Teoria dei Tipi Logici, utilizzata per trovare una soluzione al Pararadosso di Russell, è necessario dunque ampliare il sistema logico per poter dimostrare l’affermazione.

Ma anche nel nuovo sistema ci saranno affermazioni non dimostrabili. E allora? sarà necessario ampliare il sistema logico con nuovi assiomi…e così via. Non si può sfuggire all’incompletezza.

Con estremo rigore logico, Kurt Godel dimostrò che “qualsiasi sistema che permette di definire i numeri naturali è necessariamente incompleto”. Vale a dire che avremo sempre la possibilità di incontrare affermazioni di cui non si può dimostrare né la verità né la falsità.

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M. C. Escher e il paradosso di Russell

10 febbraio 2009

“E’ stato confrontandomi con gli enigmi che ci circondano e considerando e analizzando le osservazioni da me fatte, che sono giunto alla matematica. Sebbene mi si possa davvero considerare digiuno di esperienza e consuetudine con le scienze esatte, spesso mi sembra di avere molte più cose in comune con i matematici che con i miei discepoli artisti”.

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Mauritius Cornelius Escher – Print Gallery

Possiamo comprendere il mondo nella sua totalità quando noi stessi ne siamo parte? Come potremmo essere osservati ed osservatori?

Il messaggio di quest’opera di Mauritius Cornelius Escher è chiaro: un uomo osserva il dipinto di un porto, il mare, una barca e la città con una galleria di quadri in cui un uomo osserva il dipinto di un porto…

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Italo Calvino – Racconti: la Pecora Nera

25 gennaio 2009

Calvino I., Prima che tu dica «Pronto», Mondadori 

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“C’era un paese dove erano tutti ladri”.

Nelle prime parole del geniale racconto “la Pecora Nera”, Italo Calvino sembra fare eco agli esercizi di logica dei filosofi greci, richiamando in particolare il famoso paradosso di Epimenide di Creta (VI secolo a.C.): “Tutti i cretesi sono bugiardi”.

E proprio sulla base di criteri logici, che chiaramente semplificano la complessità dei rapporti umani e della società, Calvino arriva a conclusioni quanto mai argute e attuali su temi come la giustizia sociale e la distribuzione delle risorse.

“La pecora nera” è pubblicato nella raccolta “Prima che tu dica dica «Pronto»”, edita da Mondadori. Di seguito una breve sintesi del racconto, sconsigliata a chi vorrà leggerlo direttamente dalle pagine dell’autore…

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Il Paradosso di Zenone

17 luglio 2008

il moto è impossibile perché ciò che si muove deve arrivare allo stadio intermedio prima di arrivare alla meta (Aristotele Fisica VI:9, 239b10).

Nel V secolo a.C. Zenone diede prova di straordinario intuito logico, destabilizzando il pensiero con i suoi paradossi. Poggiando sull’infinita divisibilità dello spazio arrivò a concludere che il moto è un’illusione.

Così la freccia non raggiungerà mai la meta perchè per arrivarvi deve attraversare un numero infinito di punti e Achille non raggiungerà mai la tartaruga alla quale ha concesso il vantaggio, perchè nel tempo in cui colmerà la distanza che li separa questa avrà compiuto un piccolo passo in avanti mantenendo sempre un seppur piccolo vantaggio.

Queste riflessioni paradossali hanno aperto la via a conclusioni tutt’altro che ovvie.
Vediamo di cosa si tratta.

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Il paradosso di Russell

21 marzo 2008

“In un villaggio c’è un unico barbiere.
Il barbiere rade tutti (e soli) gli uomini che non si radono da soli.
Il barbiere rade sé stesso?”.

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Che ne pensate? Proviamo a rispondere:
1. se il barbiere rade sé stesso, allora per definizione il barbiere non rade sé stesso;
2. se il barbiere non rade sé stesso allora, dato che il barbiere rade tutti quelli che non si radono da soli, il barbiere rade sé stesso.

In entrambi i casi siamo arrivati ad una contraddizione!

E’ il noto Paradosso di Russell, che racconta un problema con il quale si scontrò il famoso filosofo e matematico. Come per Pitagora, l’inaspettato “imprevisto” si presentò sul più bello, proprio quando l’idea di un’opera come i Principia Matematica sembrava essere una costruzione solida e perfetta contenente tutto il sapere matematico.

Ma cosa accade di imprevisto? Per scoprirlo occorre seguire un piccolo ragionamento, che – siete avvisati – potrà causare qualche mal di testa. I più temerari possono comunque continuare a leggere…

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Douglas R. Hofstadter – Gödel, Escher e Bach

11 luglio 2007

Hofstadter Douglas R. Gödel, Escher, Bach. Un’eterna ghirlanda brillante, Adelphi

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Musica, Arte e Matematica.  

Afferma l’autore: «Ho compreso come per me, Gödel Escher e Bach erano soltanto ombre proiettate in diverse direzioni da una qualche essenza solida e centrale. Ho cercato di ricostruire l’oggetto centrale, ed ecco il perché di questo libro.» 

Tutto comincia con il paradosso di Epimenide: “questa frase è falsa”, proposizione di per sé, né vera né falsa. C’è dunque bisogno di un sistema logico più ampio. Di qui il tentativo dell’uomo di comprendere la propria Mente. Può comprendere se stessa o c’è bisogno di un altro ente superiore? Quale?  

Un percorso affascinante, imperniato sulla dimostrazione del Teorema di Incompletezza di Gödel. Un viaggio che spazia dalla filosofia greca alla biologia molecolare, passando per la filosofia zen, fino all’intelligenza artificiale e le sue implicazioni sia tecniche che filosofiche. 

L’opera affronta con disinvoltura e chiarezza espositiva molti argomenti complessi. Si articola in venti capitoli alternati, in una sorta di contrappunto, con dialoghi surreali tra Achille e la Tartaruga, che offrono una trasposizione letteraria dei canoni musicali di Bach. 

Un libro eccezionale, unico.

Lo consiglio vivamente a tutti.