Il problema di Delo…e non solo

“Un tempo, gli abitanti di Delo, straziati dalla peste, interrogarono l’oracolo di Apollo per porre fine all’epidemia. L’oracolo rispose che per placare l’ira del dio, avrebbero dovuto costruire un’ara cubica più grande, di volume doppio rispetto a quella attuale. Ingenuamente gli abitanti di Delo raddoppiarono i lati dell’ara, ma l’ira del dio fu ancora più tremenda: in questo modo infatti il volume non era raddoppiato, come richiesto, ma cresciuto di ben 8 volte.”

Così ci è stato tramandato il Problema di Delo, nella versione di Teone di Smirne, matematico del II secolo d.C.. Ma il problema affonda le radici molto lontano nel tempo.

Una versione analoga del problema si trova in una lettera di Eratostene di Cirene nel III secolo a.C., il quale congegnò uno strumento meccanico per individuare la soluzione: il mesolabio. Molti altri matematici si cimentarono nella risoluzione del problema: da Ippocrate di Chio, Menecmo e Archita, nel IV secolo a.C. fino a Diocle e Nicomede nel III secolo a.C..

La soluzione di Ippocrate è la più ingegnosa, mentre trovo quella di Menecmo la più moderna ed elegante. Siete pronti?

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Il Paradosso di Zenone

il moto è impossibile perché ciò che si muove deve arrivare allo stadio intermedio prima di arrivare alla meta (Aristotele Fisica VI:9, 239b10).

Nel V secolo a.C. Zenone diede prova di straordinario intuito logico, destabilizzando il pensiero con i suoi paradossi. Poggiando sull’infinita divisibilità dello spazio arrivò a concludere che il moto è un’illusione.

Così la freccia non raggiungerà mai la meta perchè per arrivarvi deve attraversare un numero infinito di punti e Achille non raggiungerà mai la tartaruga alla quale ha concesso il vantaggio, perchè nel tempo in cui colmerà la distanza che li separa questa avrà compiuto un piccolo passo in avanti mantenendo sempre un seppur piccolo vantaggio.

Queste riflessioni paradossali hanno aperto la via a conclusioni tutt’altro che ovvie.
Vediamo di cosa si tratta.

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I frattali: la matematica della natura

Vi sarà sicuramente capitato di notare che le forme geometriche che così bene si prestano a rapporti e formule matematiche, trovano ben poco riscontro nella realtà. Ben diverse e più articolate sono le forme della natura, nei fiori, negli alberi, nel profilo delle montagne.

Bene, proprio da questa considerazione, nascono i famosi frattali.

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Il paradosso di Russell

“In un villaggio c’è un unico barbiere.
Il barbiere rade tutti (e soli) gli uomini che non si radono da soli.
Il barbiere rade sé stesso?”.

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Che ne pensate? Proviamo a rispondere:
1. se il barbiere rade sé stesso, allora per definizione il barbiere non rade sé stesso;
2. se il barbiere non rade sé stesso allora, dato che il barbiere rade tutti quelli che non si radono da soli, il barbiere rade sé stesso.

In entrambi i casi siamo arrivati ad una contraddizione!

E’ il noto Paradosso di Russell, che racconta un problema con il quale si scontrò il famoso filosofo e matematico. Come per Pitagora, l’inaspettato “imprevisto” si presentò sul più bello, proprio quando l’idea di un’opera come i Principia Matematica sembrava essere una costruzione solida e perfetta contenente tutto il sapere matematico.

Ma cosa accade di imprevisto? Per scoprirlo occorre seguire un piccolo ragionamento, che – siete avvisati – potrà causare qualche mal di testa. I più temerari possono comunque continuare a leggere…

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Ippaso di Metaponto: la nascita dei numeri irrazionali

“Tutto è Numero”

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Il motto di Pitagora sembrava la chiave per svelare i segreti dell’universo, i numeri ed i loro rapporti. Ma il cammino della conoscenza non è mai troppo facile, anzi è impervio ed insidioso. E così saltò fuori un bel problema.

Ci si accorse, a partire dalla semplice figura del quadrato, che il lato e la diagonale avevano lunghezze che non erano esprimibili attraverso un rapporto di due numeri interi. Erano dunque incommensurabili.

Fu un vero e proprio terremoto. Come reagirono i pitagorici? Sicuramente l’atteggiamento non fu dei più lodevoli. Continuarono a divulgare le loro teorie, cercando di tenere nascosto tale aspetto. Magari prima o poi si sarebbe trovata una soluzione, quindi meglio non dire nulla. Ma come spesso succedere, prima o poi la verità viene a galla. E qualcuno parlò.

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Pitagora: “Tutto è Numero”

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Sicuramente uno dei matematici più noti, Pitagora di Samo, è anche una delle figure più misteriose e controverse dell’antichità. Visse nel VI secolo a. C., ma non esiste nessun trattato scritto di suo pugno e molte delle storie sul suo conto oscillano tra verità e leggenda.

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Simon Singh – L’ultimo Teorema di Fermat

Singh S., L’ultimo Teorema di Fermat, Rizzoli, 1997

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Nel 1637, Pierre de Fermat, un arguto avvocato con la passione per la matematica, leggendo una copia dell’Arithmetica di Diofanto di Alessandria, ebbe una brillante intuizione:

 “non esistono tre numeri interi positivi a, b, c, che verificano l’equazione: 

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con n > 2.”

Entusiasta, Fermat aggiunge in margine del quaderno: “Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina”.

Purtroppo la “meravigliosa dimostrazione” del geniale matematico, morirà con lui ed il teorema resterà irrisolto per oltre 350 anni…

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