I frattali e la sezione aurea

19 aprile 2009

Così come la Curva di Koch rappresenta un buon modello per un tratto di costa, si possono costruire altri frattali per rappresentare alcune forme naturali, difficilmente raffigurabili con le forme geometriche classiche. Spesso si tratta di forme che hanno una struttura complessa e articolata, apparentemente in maniera irregolare o ramificata, proprio come un albero.

albero-frattale

Vediamo allora come costruire un frattale che possa rappresentare un albero, ma anche una qualsiasi altra struttura ramificata osservabile in natura.

Ma soprattutto, cerchiamo di capire come tutto questo, possa aver a che fare con la Sezione Aurea...

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I frattali: la dimensione della curva di Koch

17 dicembre 2008

Nel post precedente, avevamo superato il paradosso di Zenone, riducendo ad un valore finito la somma di infiniti termini. Ma come nei versi di William Blake, riemerge quel tormentato rapporto dell’uomo con l’infinito, indomabile, affascinante e ignoto.

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Affrontando i frattali, abbiamo appurato come la curva di Koch ci porti ad una figura geometrica con una superficie finita ed un perimetro di lunghezza infinita, lasciando aperto un quesito: come è possibile?

Cercheremo ora di superare quest’altro paradosso, giungendo a conclusioni tutt’altro che ovvie: la risposta infatti, è nella dimensione della figura…

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I frattali: la misura della curva di Koch

25 settembre 2008

Nel precedente post sui frattali, ci siamo imbattuti nella curva di Koch, un “oggetto geometrico” particolare, che ben rappresenta, almeno idealmente una struttura frattale come, ad esempio un tratto di costa.

Una variante della curva di Koch è il cosiddetto fiocco di neve di Koch, che si ottiene iterando lo sviluppo della curva sui tre lati di un triangolo equilatero.

Cercheremo ora di rispondere al quesito che ci eravamo posti, in merito alla lunghezza della curva di Koch, ragionando sul fiocco di neve, ossia: quanto misura il perimetro del fiocco di neve di Koch?

Scopriremo che la curva avrà una lunghezza infinita, nonostante racchiuda un’area finita! Dopo aver superato il paradosso di Zenone ci troviamo nuovamente davanti ad un inaspettato e paradossale risultato.

Come nei versi di William Blake, riemerge quel tormentato rapporto dell’uomo con l’infinito, indomabile, affascinante e ignoto.

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I frattali: la matematica della natura

26 maggio 2008

Vi sarà sicuramente capitato di notare che le forme geometriche che così bene si prestano a rapporti e formule matematiche, trovano ben poco riscontro nella realtà. Ben diverse e più articolate sono le forme della natura, nei fiori, negli alberi, nel profilo delle montagne.

Bene, proprio da questa considerazione, nascono i famosi frattali.

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