Il teorema di Incompletezza di Godel

19 marzo 2009

“Non domandarci la formula che mondi possa aprirti
sì qualche storta sillaba e secca come un ramo.
Codesto solo oggi possiamo dirti,
ciò che non siamo, ciò che non vogliamo.”

E. Montale – da Ossi di Seppia

godel

“Questa frase è falsa”

Riuscireste a dimostrarlo? Bene, questa proposizione si dice pertanto indecidibile.

In altre parole, non possiamo stabilire se è vera o falsa, infatti se fosse vera allora sarebbe falsa, mentre se fosse falsa allora sarebbe vera. Insomma, l’unico modo per risolvere la questione è trovare nuovi assiomi che possano completare il nostro sistema logico.

Analogamente alla Teoria dei Tipi Logici, utilizzata per trovare una soluzione al Pararadosso di Russell, è necessario dunque ampliare il sistema logico per poter dimostrare l’affermazione.

Ma anche nel nuovo sistema ci saranno affermazioni non dimostrabili. E allora? sarà necessario ampliare il sistema logico con nuovi assiomi…e così via. Non si può sfuggire all’incompletezza.

Con estremo rigore logico, Kurt Godel dimostrò che “qualsiasi sistema che permette di definire i numeri naturali è necessariamente incompleto”. Vale a dire che avremo sempre la possibilità di incontrare affermazioni di cui non si può dimostrare né la verità né la falsità.

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