I frattali e la sezione aurea

19 aprile 2009

Così come la Curva di Koch rappresenta un buon modello per un tratto di costa, si possono costruire altri frattali per rappresentare alcune forme naturali, difficilmente raffigurabili con le forme geometriche classiche. Spesso si tratta di forme che hanno una struttura complessa e articolata, apparentemente in maniera irregolare o ramificata, proprio come un albero.

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Vediamo allora come costruire un frattale che possa rappresentare un albero, ma anche una qualsiasi altra struttura ramificata osservabile in natura.

Ma soprattutto, cerchiamo di capire come tutto questo, possa aver a che fare con la Sezione Aurea...

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Leonardo Fibonacci e la Sezione Aurea

23 novembre 2007

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Molto spesso le grandi scoperte sono idee che già sono nell’aria, oppure sono scritte nella natura, spesso sotto gli occhi di tutti. Il genio ha il merito di saperle cogliere.

Ma a volte i  tempi non sono maturi. 

Capitò che alcune conoscenze già note, tornarono sopite per poi riemergere in tempi migliori. Fu così che il Medioevo fu testiomone dell’oblio di parte della conoscenza.

Non ci sorprende dunque che il bravo Leonardo Fibonacci non trattò mai la Sezione Aurea. Ma nonostante tutto, la incontrò, sfiorandola, ben due volte. 

La prima volta con il problema dei conigli, che portò alla sua celebre successione. La seconda volta, ancor più clamorosamente, fu attraverso il problema della divisione in tre parti:

“A un giovane matematico viene proposto di trovare tre numeri la cui somma sia 10, tali che il prodotto tra il minore ed il maggiore sia uguale all’altro numero moltiplicato per se stesso. Quali sono i tre numeri?”

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Leonardo Fibonacci e i conigli

5 novembre 2007

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Un tempo la matematica serviva soprattutto per fare affari. Il celebre matematico Leonardo Pisano, detto Fibonacci, prima di essere un matematico, fu un mercante. Viaggiò molto, toccando le sponde dell’Asia Minore e del nord Africa. Entrò in contatto con gli arabi e conobbe nuovi sistemi di calcolo e numerazione.

Come un ape che, spostandosi di fiore in fiore, permette l’impollinazione, così Fibonacci contribuì allo sviluppo della cultura europea occidentale.

Il suo Liber abbacitesto medioevale di straordinaria importanza, segna una svolta in Europa: porta per la prima volta la numerazione arabo-indiana, quella che utilizziamo ancora oggi e lo zephyrus, il numero zero, che – praticamente un ossimoro – quantifica il nulla.

I capitoli del Liber Abbaci affrontano il problema della rappresentazione dei numeri e propongono nuovi metodi di calcolo. L’ultimo capitolo è tra i più interessanti, in quanto propone esercizi, prevalentemente teorici, che trovano però molte applicazioni pratiche. Uno in particolare ha reso celebre il matematico:

Un tale pose una coppia di conigli in un luogo circondato da pareti. La coppia iniziò a riprodursi a partire dalla fine del primo mese e ogni mese generò una nuova coppia di conigli. Tutte le altre coppie, nate nel corso dell’anno, iniziarono a riprodursi a partire dal secondo mese dopo la nascita e anch’esse generarono una nuova coppia ogni mese, quante coppie di conigli nascono complessivamente in un anno?

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Mario Livio – La Sezione Aurea

23 luglio 2007

Livio M., La sezione aurea, Rizzoli, 2003

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0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 …

Tutto cominciò quando nel XIII secolo, il matematico pisano Leonardo Fibonacci cercò di trovare una regola per lo sviluppo di una popolazione di conigli. Aveva in realtà aperto uno squarcio su un’area matematica particolarmente affascinante per la sua eleganza e bellezza.

La successione di numeri riportata prende il nome di Successione di Fibonacci, ed il criterio di sviluppo è piuttosto semplice: dati i primi due numeri 0 e 1, ogni numero successivo è la somma dei due precedenti.

Nel Seicento, Keplero notò che il rapporto tra due termini consecutivi, tende ad un valore particolare: la Sezione Aurea. Nota fin dai tempi di Euclide, si ritrova in molte opere dell’uomo come canone estetico di proporzionalità, dalle piramidi ai templi greci, così come in molte forme naturali dotate di particolare armonia e simmetria, come il guscio del Nautilius.

Ma che cos’è la sezione aurea? Perché questo numero è tanto speciale?

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