M.C. Escher – Another World (1947)

9 giugno 2009

Another world

E ora se il numero degli atomi è così sterminato
che un’intera età dei viventi non basterebbe a contarli,
e persiste la medesima forza e natura che possa
congiungere gli atomi dovunque nella stessa maniera
in cui si congiunsero qui, è necessario per te riconoscere
che esistono altrove nel vuoto altri globi terrestri
e diverse razze di uomini e specie di fiere.

Tito Lucrezio CaroDe Rerum Natura (Libro II vv. 1070-1076)


Sottili percorsi tra Godel, Kafka e Borges

28 aprile 2009

Vi sono storie che si svelano uguali pur seguendo percorsi profondamente diversi. Talvolta sottacciuti, esistono sottili rimandi tra l’arte e la scienza, tra la letteratura e la matematica, entrambe intimamente legate da un desiderio di conoscenza: è così che dalla logica di Godel si arriva alla letteratura di Kafka, passando per Borges.

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Il teorema di Godel sembra risuonare ancora con il fragore del silenzio, scandita, lapidaria come l’ultima parola oltre la quale nulla è concesso.

In realtà, in principio la sua dimostrazione non era molto più che un sofisticato percorso logico, molto tecnico, ma le successive letture ed interpretazioni ne amplificarono la portata.

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Il teorema di Incompletezza di Godel

19 marzo 2009

“Non domandarci la formula che mondi possa aprirti
sì qualche storta sillaba e secca come un ramo.
Codesto solo oggi possiamo dirti,
ciò che non siamo, ciò che non vogliamo.”

E. Montale – da Ossi di Seppia

godel

“Questa frase è falsa”

Riuscireste a dimostrarlo? Bene, questa proposizione si dice pertanto indecidibile.

In altre parole, non possiamo stabilire se è vera o falsa, infatti se fosse vera allora sarebbe falsa, mentre se fosse falsa allora sarebbe vera. Insomma, l’unico modo per risolvere la questione è trovare nuovi assiomi che possano completare il nostro sistema logico.

Analogamente alla Teoria dei Tipi Logici, utilizzata per trovare una soluzione al Pararadosso di Russell, è necessario dunque ampliare il sistema logico per poter dimostrare l’affermazione.

Ma anche nel nuovo sistema ci saranno affermazioni non dimostrabili. E allora? sarà necessario ampliare il sistema logico con nuovi assiomi…e così via. Non si può sfuggire all’incompletezza.

Con estremo rigore logico, Kurt Godel dimostrò che “qualsiasi sistema che permette di definire i numeri naturali è necessariamente incompleto”. Vale a dire che avremo sempre la possibilità di incontrare affermazioni di cui non si può dimostrare né la verità né la falsità.

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M. C. Escher e il paradosso di Russell

10 febbraio 2009

“E’ stato confrontandomi con gli enigmi che ci circondano e considerando e analizzando le osservazioni da me fatte, che sono giunto alla matematica. Sebbene mi si possa davvero considerare digiuno di esperienza e consuetudine con le scienze esatte, spesso mi sembra di avere molte più cose in comune con i matematici che con i miei discepoli artisti”.

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Mauritius Cornelius Escher – Print Gallery

Possiamo comprendere il mondo nella sua totalità quando noi stessi ne siamo parte? Come potremmo essere osservati ed osservatori?

Il messaggio di quest’opera di Mauritius Cornelius Escher è chiaro: un uomo osserva il dipinto di un porto, il mare, una barca e la città con una galleria di quadri in cui un uomo osserva il dipinto di un porto…

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I frattali: la dimensione della curva di Koch

17 dicembre 2008

Nel post precedente, avevamo superato il paradosso di Zenone, riducendo ad un valore finito la somma di infiniti termini. Ma come nei versi di William Blake, riemerge quel tormentato rapporto dell’uomo con l’infinito, indomabile, affascinante e ignoto.

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Affrontando i frattali, abbiamo appurato come la curva di Koch ci porti ad una figura geometrica con una superficie finita ed un perimetro di lunghezza infinita, lasciando aperto un quesito: come è possibile?

Cercheremo ora di superare quest’altro paradosso, giungendo a conclusioni tutt’altro che ovvie: la risposta infatti, è nella dimensione della figura…

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Douglas R. Hofstadter – Gödel, Escher e Bach

11 luglio 2007

Hofstadter Douglas R. Gödel, Escher, Bach. Un’eterna ghirlanda brillante, Adelphi

GEB

Musica, Arte e Matematica.  

Afferma l’autore: «Ho compreso come per me, Gödel Escher e Bach erano soltanto ombre proiettate in diverse direzioni da una qualche essenza solida e centrale. Ho cercato di ricostruire l’oggetto centrale, ed ecco il perché di questo libro.» 

Tutto comincia con il paradosso di Epimenide: “questa frase è falsa”, proposizione di per sé, né vera né falsa. C’è dunque bisogno di un sistema logico più ampio. Di qui il tentativo dell’uomo di comprendere la propria Mente. Può comprendere se stessa o c’è bisogno di un altro ente superiore? Quale?  

Un percorso affascinante, imperniato sulla dimostrazione del Teorema di Incompletezza di Gödel. Un viaggio che spazia dalla filosofia greca alla biologia molecolare, passando per la filosofia zen, fino all’intelligenza artificiale e le sue implicazioni sia tecniche che filosofiche. 

L’opera affronta con disinvoltura e chiarezza espositiva molti argomenti complessi. Si articola in venti capitoli alternati, in una sorta di contrappunto, con dialoghi surreali tra Achille e la Tartaruga, che offrono una trasposizione letteraria dei canoni musicali di Bach. 

Un libro eccezionale, unico.

Lo consiglio vivamente a tutti.