I frattali e la sezione aurea

19 aprile 2009

Così come la Curva di Koch rappresenta un buon modello per un tratto di costa, si possono costruire altri frattali per rappresentare alcune forme naturali, difficilmente raffigurabili con le forme geometriche classiche. Spesso si tratta di forme che hanno una struttura complessa e articolata, apparentemente in maniera irregolare o ramificata, proprio come un albero.

albero-frattale

Vediamo allora come costruire un frattale che possa rappresentare un albero, ma anche una qualsiasi altra struttura ramificata osservabile in natura.

Ma soprattutto, cerchiamo di capire come tutto questo, possa aver a che fare con la Sezione Aurea...

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Leonardo Fibonacci e la Sezione Aurea

23 novembre 2007

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Molto spesso le grandi scoperte sono idee che già sono nell’aria, oppure sono scritte nella natura, spesso sotto gli occhi di tutti. Il genio ha il merito di saperle cogliere.

Ma a volte i  tempi non sono maturi. 

Capitò che alcune conoscenze già note, tornarono sopite per poi riemergere in tempi migliori. Fu così che il Medioevo fu testiomone dell’oblio di parte della conoscenza.

Non ci sorprende dunque che il bravo Leonardo Fibonacci non trattò mai la Sezione Aurea. Ma nonostante tutto, la incontrò, sfiorandola, ben due volte. 

La prima volta con il problema dei conigli, che portò alla sua celebre successione. La seconda volta, ancor più clamorosamente, fu attraverso il problema della divisione in tre parti:

“A un giovane matematico viene proposto di trovare tre numeri la cui somma sia 10, tali che il prodotto tra il minore ed il maggiore sia uguale all’altro numero moltiplicato per se stesso. Quali sono i tre numeri?”

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Leonardo Fibonacci e i conigli

5 novembre 2007

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Un tempo la matematica serviva soprattutto per fare affari. Il celebre matematico Leonardo Pisano, detto Fibonacci, prima di essere un matematico, fu un mercante. Viaggiò molto, toccando le sponde dell’Asia Minore e del nord Africa. Entrò in contatto con gli arabi e conobbe nuovi sistemi di calcolo e numerazione.

Come un ape che, spostandosi di fiore in fiore, permette l’impollinazione, così Fibonacci contribuì allo sviluppo della cultura europea occidentale.

Il suo Liber abbacitesto medioevale di straordinaria importanza, segna una svolta in Europa: porta per la prima volta la numerazione arabo-indiana, quella che utilizziamo ancora oggi e lo zephyrus, il numero zero, che – praticamente un ossimoro – quantifica il nulla.

I capitoli del Liber Abbaci affrontano il problema della rappresentazione dei numeri e propongono nuovi metodi di calcolo. L’ultimo capitolo è tra i più interessanti, in quanto propone esercizi, prevalentemente teorici, che trovano però molte applicazioni pratiche. Uno in particolare ha reso celebre il matematico:

Un tale pose una coppia di conigli in un luogo circondato da pareti. La coppia iniziò a riprodursi a partire dalla fine del primo mese e ogni mese generò una nuova coppia di conigli. Tutte le altre coppie, nate nel corso dell’anno, iniziarono a riprodursi a partire dal secondo mese dopo la nascita e anch’esse generarono una nuova coppia ogni mese, quante coppie di conigli nascono complessivamente in un anno?

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Ramanujan, il poeta dei numeri…

5 ottobre 2007

 …da Φ a π

Quando Godfrey Hardy visitò in ospedale l’amico indiano Srinivasa Ramanujan fu, come al solito, impacciato nell’avviare una conversazione. Non sapendo cosa dire, esordì: “Mi pare che il numero del mio taxi fosse 1729. Mi sembra un numero piuttosto insulso“. Ma Ramanujan gli rispose: “Ma no Hardy! Ma no! E’ un numero molto interessante. E’ il più piccolo numero esprimibile come somma di due cubi in due modi diversi!”

La storia è vera. Hardy e Ramanujan sono probabilmente i più straordinari matematici di inizio Novecento. Sono anche un esempio per tutti di amicizia che supera ogni differenza di razza, religione, usi e costumi. Fu una amicizia vera e duratura, suggellata dalla passione comune per la matematica.

Quando Hardy conobbe l’opera di Ramanujan era titolare di una prestigiosa cattedra a Cambridge e, probabilmente, il matematico inglese più affermato del momento. Gli scritti di Ramanujan lo colpirono e fece di tutto per sostenere il giovane e promettente matematico. 

Ramanujan è stato un personaggio eccezionale, un matematico unico. La sua opera matematica si basa prevalentemente su una straordinaria intuizione, nel cogliere architetture numeriche con estrema facilità. Le sue incredibili intuizioni matematiche si sono rivelate vere a successive verifiche, aprendo la strada a nuove scoperte. 

Ramanujan fu un mistico della matematica e tra le sue visioni, vi è una relazione che lega, attraverso una meravigliosa frazione continua, due numeri fondamentali: phi, la sezione aurea ed il famoso pi greco:   

phi_pigreco.png

In questa poetica ed emozionante equazione, trova a mio avviso soluzione il proposito emerso nei commenti al precedente post “La sezione aurea: un’anima irrazionale”

Possiamo dunque concludere che il legame tra l’irrazionale phi ed il trascendente pi greco passa attraverso l’infinito.


La Sezione Aurea: un’anima irrazionale

27 luglio 2007

Φ 

1,61803398874989484…

Non esiste fine né alcun criterio di regolarità per i decimali dopo la virgola. Ma come è possibile che il rapporto aureo, canone di tanta regolarità, abbia una forma così imperfetta?

Ogni qualvolta l’uomo si confronta con l’infinito, non può che provare un fastidioso disagio, dall’incapacità di comprenderlo. Arrivando fino al paradosso, come nel caso di Zenone.
Infiniti punti separano Achille dalla Tartaruga, così come infiniti numeri separano 1 da 2 e anche 1,6 da 1,7. Un’infinità di numeri razionali ed irrazionali. Proprio tra questi ultimi in una posizione assolutamente indefinita e sfuggente si trova Phi, la Sezione Aurea.

Inaspettatamente proprio là dove si trova tanta geometrica e semplice armonia, si nasconde un numero irrazionale.

E’ il caso del cerchio, la cui perfezione si cela nell’equidistanza da un punto, ovvero nel rapporto tra tale distanza e la circonferenza…il famoso pi greco. Ancora una volta un numero irrazionale.

Ma torniamo alla Sezione Aurea. Così come la diagonale del quadrato, si lega alla radice quadrata di 2, come l’altezza del triangolo equilatero è proporzionale alla radice quadrata di 3, anche per la Sezione Aurea esiste una forma che racchiude tanta irriverente irrazionalità. Troviamola.

Sappiamo che: (a + b) : a = a : b

Il prodotto dei medi è uguale a quello degli estremi: ab + b^2 = a^2

Dividiamo tutto per b^2 e poniamo x = a / b: x^2 – x – 1 = 0

Risolvendo l’equazione abbiamo due soluzioni; poiché si tratta di un rapporto tra lunghezze sarà valido il valore positivo:

phi.png 

L’irrazionalità della Seziona Aurea è dunque racchiusa nel numero 5. Eppure molte delle proprietà uniche del rapporto aureo sembrano tessiture del numero 1, peraltro, unico coefficiente dell’equazione che ha portato alla soluzione.

Aggiungendo 1 troviamo il suo quadrato, mentre sottraendolo troviamo il suo inverso, dunque l’interminabile sequenza di cifre decimali rimane inalterata sia per l’inverso che per il quadrato. Può essere espresso anche come frazione continua:

phi2.png

O attraverso una sequenza di radici nidificate, utilizzando sempre e solo il numero 1:

phi2.png 

Si ritorna infine, a forme che rappresentano, con altra eleganza, la bellezza di questo numero irrazionale, teso inevitabilmente verso l’infinito.


Mario Livio – La Sezione Aurea

23 luglio 2007

Livio M., La sezione aurea, Rizzoli, 2003

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0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 …

Tutto cominciò quando nel XIII secolo, il matematico pisano Leonardo Fibonacci cercò di trovare una regola per lo sviluppo di una popolazione di conigli. Aveva in realtà aperto uno squarcio su un’area matematica particolarmente affascinante per la sua eleganza e bellezza.

La successione di numeri riportata prende il nome di Successione di Fibonacci, ed il criterio di sviluppo è piuttosto semplice: dati i primi due numeri 0 e 1, ogni numero successivo è la somma dei due precedenti.

Nel Seicento, Keplero notò che il rapporto tra due termini consecutivi, tende ad un valore particolare: la Sezione Aurea. Nota fin dai tempi di Euclide, si ritrova in molte opere dell’uomo come canone estetico di proporzionalità, dalle piramidi ai templi greci, così come in molte forme naturali dotate di particolare armonia e simmetria, come il guscio del Nautilius.

Ma che cos’è la sezione aurea? Perché questo numero è tanto speciale?

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