Sottili percorsi tra Godel, Kafka e Borges

Vi sono storie che si svelano uguali pur seguendo percorsi profondamente diversi. Talvolta sottacciuti, esistono sottili rimandi tra l’arte e la scienza, tra la letteratura e la matematica, entrambe intimamente legate da un desiderio di conoscenza: è così che dalla logica di Godel si arriva alla letteratura di Kafka, passando per Borges.

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Il teorema di Godel sembra risuonare ancora con il fragore del silenzio, scandita, lapidaria come l’ultima parola oltre la quale nulla è concesso.

In realtà, in principio la sua dimostrazione non era molto più che un sofisticato percorso logico, molto tecnico, ma le successive letture ed interpretazioni ne amplificarono la portata.

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Il teorema di Incompletezza di Godel

“Non domandarci la formula che mondi possa aprirti
sì qualche storta sillaba e secca come un ramo.
Codesto solo oggi possiamo dirti,
ciò che non siamo, ciò che non vogliamo.”

E. Montale – da Ossi di Seppia

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“Questa frase è falsa”

Riuscireste a dimostrarlo? Bene, questa proposizione si dice pertanto indecidibile.

In altre parole, non possiamo stabilire se è vera o falsa, infatti se fosse vera allora sarebbe falsa, mentre se fosse falsa allora sarebbe vera. Insomma, l’unico modo per risolvere la questione è trovare nuovi assiomi che possano completare il nostro sistema logico.

Analogamente alla Teoria dei Tipi Logici, utilizzata per trovare una soluzione al Pararadosso di Russell, è necessario dunque ampliare il sistema logico per poter dimostrare l’affermazione.

Ma anche nel nuovo sistema ci saranno affermazioni non dimostrabili. E allora? sarà necessario ampliare il sistema logico con nuovi assiomi…e così via. Non si può sfuggire all’incompletezza.

Con estremo rigore logico, Kurt Godel dimostrò che “qualsiasi sistema che permette di definire i numeri naturali è necessariamente incompleto”. Vale a dire che avremo sempre la possibilità di incontrare affermazioni di cui non si può dimostrare né la verità né la falsità.

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Paul Valéry, poeta matematico

 “Spero che le mie poesie abbiano la solidità di alcune pagine di algebra”
Paul Valéry

Matematica e Poesia, due mondi agli antipodi ma intimamente legati dalla comune necessità di perseguire valori e principi assoluti. Entrambi sono animati da un grande sforzo di astrazione, per rappresentare e comprendere l’uomo e il mondo, superando i limiti del finito.

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Il Paradosso di Zenone

il moto è impossibile perché ciò che si muove deve arrivare allo stadio intermedio prima di arrivare alla meta (Aristotele Fisica VI:9, 239b10).

Nel V secolo a.C. Zenone diede prova di straordinario intuito logico, destabilizzando il pensiero con i suoi paradossi. Poggiando sull’infinita divisibilità dello spazio arrivò a concludere che il moto è un’illusione.

Così la freccia non raggiungerà mai la meta perchè per arrivarvi deve attraversare un numero infinito di punti e Achille non raggiungerà mai la tartaruga alla quale ha concesso il vantaggio, perchè nel tempo in cui colmerà la distanza che li separa questa avrà compiuto un piccolo passo in avanti mantenendo sempre un seppur piccolo vantaggio.

Queste riflessioni paradossali hanno aperto la via a conclusioni tutt’altro che ovvie.
Vediamo di cosa si tratta.

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Il paradosso di Russell

“In un villaggio c’è un unico barbiere.
Il barbiere rade tutti (e soli) gli uomini che non si radono da soli.
Il barbiere rade sé stesso?”.

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Che ne pensate? Proviamo a rispondere:
1. se il barbiere rade sé stesso, allora per definizione il barbiere non rade sé stesso;
2. se il barbiere non rade sé stesso allora, dato che il barbiere rade tutti quelli che non si radono da soli, il barbiere rade sé stesso.

In entrambi i casi siamo arrivati ad una contraddizione!

E’ il noto Paradosso di Russell, che racconta un problema con il quale si scontrò il famoso filosofo e matematico. Come per Pitagora, l’inaspettato “imprevisto” si presentò sul più bello, proprio quando l’idea di un’opera come i Principia Matematica sembrava essere una costruzione solida e perfetta contenente tutto il sapere matematico.

Ma cosa accade di imprevisto? Per scoprirlo occorre seguire un piccolo ragionamento, che – siete avvisati – potrà causare qualche mal di testa. I più temerari possono comunque continuare a leggere…

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Ippaso di Metaponto: la nascita dei numeri irrazionali

“Tutto è Numero”

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Il motto di Pitagora sembrava la chiave per svelare i segreti dell’universo, i numeri ed i loro rapporti. Ma il cammino della conoscenza non è mai troppo facile, anzi è impervio ed insidioso. E così saltò fuori un bel problema.

Ci si accorse, a partire dalla semplice figura del quadrato, che il lato e la diagonale avevano lunghezze che non erano esprimibili attraverso un rapporto di due numeri interi. Erano dunque incommensurabili.

Fu un vero e proprio terremoto. Come reagirono i pitagorici? Sicuramente l’atteggiamento non fu dei più lodevoli. Continuarono a divulgare le loro teorie, cercando di tenere nascosto tale aspetto. Magari prima o poi si sarebbe trovata una soluzione, quindi meglio non dire nulla. Ma come spesso succedere, prima o poi la verità viene a galla. E qualcuno parlò.

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Pitagora: “Tutto è Numero”

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Sicuramente uno dei matematici più noti, Pitagora di Samo, è anche una delle figure più misteriose e controverse dell’antichità. Visse nel VI secolo a. C., ma non esiste nessun trattato scritto di suo pugno e molte delle storie sul suo conto oscillano tra verità e leggenda.

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Simon Singh – L’ultimo Teorema di Fermat

Singh S., L’ultimo Teorema di Fermat, Rizzoli, 1997

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Nel 1637, Pierre de Fermat, un arguto avvocato con la passione per la matematica, leggendo una copia dell’Arithmetica di Diofanto di Alessandria, ebbe una brillante intuizione:

 “non esistono tre numeri interi positivi a, b, c, che verificano l’equazione: 

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con n > 2.”

Entusiasta, Fermat aggiunge in margine del quaderno: “Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina”.

Purtroppo la “meravigliosa dimostrazione” del geniale matematico, morirà con lui ed il teorema resterà irrisolto per oltre 350 anni…

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Leonardo Fibonacci e la Sezione Aurea

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Molto spesso le grandi scoperte sono idee che già sono nell’aria, oppure sono scritte nella natura, spesso sotto gli occhi di tutti. Il genio ha il merito di saperle cogliere.

Ma a volte i  tempi non sono maturi. 

Capitò che alcune conoscenze già note, tornarono sopite per poi riemergere in tempi migliori. Fu così che il Medioevo fu testiomone dell’oblio di parte della conoscenza.

Non ci sorprende dunque che il bravo Leonardo Fibonacci non trattò mai la Sezione Aurea. Ma nonostante tutto, la incontrò, sfiorandola, ben due volte. 

La prima volta con il problema dei conigli, che portò alla sua celebre successione. La seconda volta, ancor più clamorosamente, fu attraverso il problema della divisione in tre parti:

“A un giovane matematico viene proposto di trovare tre numeri la cui somma sia 10, tali che il prodotto tra il minore ed il maggiore sia uguale all’altro numero moltiplicato per se stesso. Quali sono i tre numeri?”

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Leonardo Fibonacci e i conigli

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Un tempo la matematica serviva soprattutto per fare affari. Il celebre matematico Leonardo Pisano, detto Fibonacci, prima di essere un matematico, fu un mercante. Viaggiò molto, toccando le sponde dell’Asia Minore e del nord Africa. Entrò in contatto con gli arabi e conobbe nuovi sistemi di calcolo e numerazione.

Come un ape che, spostandosi di fiore in fiore, permette l’impollinazione, così Fibonacci contribuì allo sviluppo della cultura europea occidentale.

Il suo Liber abbacitesto medioevale di straordinaria importanza, segna una svolta in Europa: porta per la prima volta la numerazione arabo-indiana, quella che utilizziamo ancora oggi e lo zephyrus, il numero zero, che – praticamente un ossimoro – quantifica il nulla.

I capitoli del Liber Abbaci affrontano il problema della rappresentazione dei numeri e propongono nuovi metodi di calcolo. L’ultimo capitolo è tra i più interessanti, in quanto propone esercizi, prevalentemente teorici, che trovano però molte applicazioni pratiche. Uno in particolare ha reso celebre il matematico:

Un tale pose una coppia di conigli in un luogo circondato da pareti. La coppia iniziò a riprodursi a partire dalla fine del primo mese e ogni mese generò una nuova coppia di conigli. Tutte le altre coppie, nate nel corso dell’anno, iniziarono a riprodursi a partire dal secondo mese dopo la nascita e anch’esse generarono una nuova coppia ogni mese, quante coppie di conigli nascono complessivamente in un anno?

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