Il teorema di Incompletezza di Godel

“Non domandarci la formula che mondi possa aprirti
sì qualche storta sillaba e secca come un ramo.
Codesto solo oggi possiamo dirti,
ciò che non siamo, ciò che non vogliamo.”

E. Montale – da Ossi di Seppia

godel

“Questa frase è falsa”

Riuscireste a dimostrarlo? Bene, questa proposizione si dice pertanto indecidibile.

In altre parole, non possiamo stabilire se è vera o falsa, infatti se fosse vera allora sarebbe falsa, mentre se fosse falsa allora sarebbe vera. Insomma, l’unico modo per risolvere la questione è trovare nuovi assiomi che possano completare il nostro sistema logico.

Analogamente alla Teoria dei Tipi Logici, utilizzata per trovare una soluzione al Pararadosso di Russell, è necessario dunque ampliare il sistema logico per poter dimostrare l’affermazione.

Ma anche nel nuovo sistema ci saranno affermazioni non dimostrabili. E allora? sarà necessario ampliare il sistema logico con nuovi assiomi…e così via. Non si può sfuggire all’incompletezza.

Con estremo rigore logico, Kurt Godel dimostrò che “qualsiasi sistema che permette di definire i numeri naturali è necessariamente incompleto”. Vale a dire che avremo sempre la possibilità di incontrare affermazioni di cui non si può dimostrare né la verità né la falsità.

Una posizione del genere fece crollare definitivamente l’assolutismo razionalistico, ad una visione positivista che attribuiva all’uomo la capacità di conoscere e spiegare il tutto, certo che nulla potesse sfuggire alla sua comprensione.

Un terremoto filosofico giunto peraltro proprio nel secolo dei conflitti ideologici e del conseguente smarrimento e disillusione. E’ il secolo dell’orologio senza lancette, come nel “Posto delle fragole” di Ingrid Bergman e dello smarrimento, nei versi di Eugenio Montale.

Come l’enigmatico osservatore, che abbiamo già incontrato, nella Print Gallery di M.C. Escher, restiamo inermi e ammutoliti spettatori di una realtà che non riusciremo mai a comprendere nella sua totalità.

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6 risposte a Il teorema di Incompletezza di Godel

  1. md ha detto:

    un capolavoro logico, che mi fece non poco sudare nel luglio di tanti anni fa, quando il mio professore di logica me ne chiese la dimostrazione all’esame; io ero convinto di averne capito ogni passaggio, ma poi venne fuori che non era così, un’ora e mezza di esame, non ricordo di avere mai faticato così tanto mentalmente, oltretutto con una temperatura di oltre 30 gradi… Strappai al buon Mangione un pietoso 26…

  2. vaniglia ha detto:

    da brava ignorante chiedo: non è un po’ parente del paradosso del cretese di zenone?

  3. giovanna ha detto:

    che bello questo post! 🙂
    Godel, Montale, Escher….
    “restiamo inermi e ammutoliti spettatori di una realtà che non riusciremo mai a comprendere nella sua totalità.”
    béh… che aggiungere?
    ciao, Miche
    g

  4. Michelangelo ha detto:

    @Mario: ma si trattava proprio della dimostrazione matematica? ho provato a leggerla, ma è molto complessa e soprattutto molto lunga!

    @Vaniglia: anche. O se vuoi, è parente di quel gioco che si ha quando si mettono due specchi contrapposti…

    @giovanna: ciao e grazie per il tuo apprezzamento! 🙂

  5. md ha detto:

    Di fatti ricordavo male, sono andato a rivedermi gli appunti e si trattava del Teorema di completezza, nella sua seconda forma: “Una teoria è coerente sse ha un modello” (la prima forma era di Godel e recitava: “Una formula A di una teoria T è un teorema di T sse è valida in T).
    L’ora e mezza di lacrime e sangue però lo ricordo bene, anche perché lemma dopo lemma andava spiegato ogni singolo passaggio, ogni teorema (teorema di chiusura e corollario, teorema di validità, teoria di Henkin, estensione conservativa, lemma di Teichmuller-Tukey, teorema di Lindenbaum… ma che roba è? Non credo che oggi riuscirei ancora a cimentarmici!)

  6. […] teorema di Godel sembra risuonare ancora con il fragore del silenzio, scandita, lapidaria come l’ultima parola […]

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