I frattali: la dimensione della curva di Koch

Nel post precedente, avevamo superato il paradosso di Zenone, riducendo ad un valore finito la somma di infiniti termini. Ma come nei versi di William Blake, riemerge quel tormentato rapporto dell’uomo con l’infinito, indomabile, affascinante e ignoto.

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Affrontando i frattali, abbiamo appurato come la curva di Koch ci porti ad una figura geometrica con una superficie finita ed un perimetro di lunghezza infinita, lasciando aperto un quesito: come è possibile?

Cercheremo ora di superare quest’altro paradosso, giungendo a conclusioni tutt’altro che ovvie: la risposta infatti, è nella dimensione della figura…

Prima di tutto, cosa si intende per “dimensione“? Quando si parla di dimensione, ci si riconduce con facilità a concetti elementari: una retta ha dimensione 1, un piano ha dimensione 2, lo spazio ha 3 dimensioni. La “dimensione” può essere vista come il numero dei gradi di libertà di un punto, ovvero le direzioni indipendenti in cui può muoversi o anche come il numero di coordinate necessarie ad identificare un punto nello spazio che lo contiene, sia esso mono, bi o tri-dimensionale.

Questi concetti sono molto semplici ed intuitivi. Diventa già più complicato immaginare 4, 5 o più dimensioni e ancor di più, immaginare che una figura possa avere una dimensione ad esempio pari a 1,26, proprio come la Curva di Koch. Che significa?

Vi sono molti modi per determinare tale valore, detto anche Misura di Hausdorff o dimensione frattale. Per chi vuole approfondire, suggerisco queste valide e semplici spiegazioni: qui e qua).

Attraverso un ragionamento basato sostanzialmente sul rapporto tra la figura ed una sua versione in scala si scopre che la curva di Koch ha dimensione superiore ad 1, quindi non è una linea o meglio, non può essere contenuta in una linea. Per questo una sua misura lineare, come il perimetro del fiocco di neve di Koch, risulta infinito.
Allo stesso modo, la dimensione della curva di Koch ha dimensione inferiore a 2, dunque non è una superficie, ma può essere contenuta in un piano. Per questo, la superficie del fiocco di neve di Koch, è finita e calcolabile, essendo racchiusa tra 3 curve di Koch.

In questa accezione la dimensione della figura si lega direttamente al suo grado di irregolarità o anche al livello di autosomiglianza, ovvero a quanto una parte della figura somiglia alla figura intera. E’ proprio attraverso la valutazione di tale parametro che si riesce a dominare l’infinito che si manifesta, ad esempio, quando cerchiamo di effettuare una misura monodimensionale.

Tutto ciò colloca chiaramente questi enti geometrici che ben rappresentano figure e forme della Natura, su un livello diverso dalla geometria tradizionale sottolineando la complessità del mondo in cui viviamo, la difficoltà nel comprenderlo totalmente, forse proprio perchè ne siamo parte.

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2 Responses to I frattali: la dimensione della curva di Koch

  1. annarita ha detto:

    Moooolto interessante, Miche! Appena ho un attimo, inserisco il link in uno dei mei post sui frattali.

    Abbracci
    annarita:)

  2. md ha detto:

    Bell’intervento, molto chiaro. Chissà se un giorno avrò tempo per approfondire…

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