I frattali: la misura della curva di Koch

Nel precedente post sui frattali, ci siamo imbattuti nella curva di Koch, un “oggetto geometrico” particolare, che ben rappresenta, almeno idealmente una struttura frattale come, ad esempio un tratto di costa.

Una variante della curva di Koch è il cosiddetto fiocco di neve di Koch, che si ottiene iterando lo sviluppo della curva sui tre lati di un triangolo equilatero.

Cercheremo ora di rispondere al quesito che ci eravamo posti, in merito alla lunghezza della curva di Koch, ragionando sul fiocco di neve, ossia: quanto misura il perimetro del fiocco di neve di Koch?

Scopriremo che la curva avrà una lunghezza infinita, nonostante racchiuda un’area finita! Dopo aver superato il paradosso di Zenone ci troviamo nuovamente davanti ad un inaspettato e paradossale risultato.

Come nei versi di William Blake, riemerge quel tormentato rapporto dell’uomo con l’infinito, indomabile, affascinante e ignoto.

Supponiamo che il segmento iniziali abbia misura unitaria.
Nella prima iterazione, sottraiamo 1/3 del segmento e ne aggiungiamo 2/3, dunque il segmento risulta lungo 4/3.
Nella seconda iterazione, per ognuno dei 4 segmenti si ripete quanto accaduto nel passo precedente, ossia la misura risulta aumentata di 4/3, quindi complessivamente, la curva misura 16/9
Reiterando il calcolo ci accorgiamo che ad ogni iterazione la misura risulta aumentata per un fattore pari a 4/3. All’ennesima iterazione la curva sarà lunga: (4/3)^n.

Questo signfica che per n tendente ad infinito la curva avrà lunghezza infinita.

Ora, con procedimento analogo (vedi qui), si può calcolare l’area del fiocco di neve di Koch. Si arriverà ad una somma di termini corrispondenti ad una serie geometrica convergente, dunque l’area del fiocco di neve di Koch avrà valore finito e pari a 8/5 dell’area del triangolo iniziale.

Ma come è possibile che esista una figura geometrica, con superficie finita e perimetro infinito? Bene, la risposta è nella sua dimensione…

5 pensieri riguardo “I frattali: la misura della curva di Koch

  1. credo che rileggerò domattina il tuo post, ho troppo sonno e il mio cervello è staccato a quest’ora 😉
    ps
    per quanto riguarda la tua domanda se non ti dispiace ti rispondo qui dicendo che la frolla in questione è molto buona, ma se giri nel mio blog ne troverai anche un’altra che amo in modo particolare 😉
    a presto!

  2. Molto interessante, le forme in natura sono matematicamente intriganti…
    Ma è venerdì e io stacco la spina, torno a leggerti tra qualche giorno.
    OT: ieri sera ho preparato i tonnarelli cacio e pepe seguendo la tua ricetta. Ottimi.
    Buon weekend

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