I frattali: la matematica della natura

Vi sarà sicuramente capitato di notare che le forme geometriche che così bene si prestano a rapporti e formule matematiche, trovano ben poco riscontro nella realtà. Ben diverse e più articolate sono le forme della natura, nei fiori, negli alberi, nel profilo delle montagne.

Bene, proprio da questa considerazione, nascono i famosi frattali.

I frattali non sono altro che oggetti geometrici, caratterizzati da una struttura molto particolare, che tanto si avvicina alle geometrie della natura. E come per tutti gli oggetti geometrici, esistono regole di costruzione o formule matematiche che ne descrivono la struttura.

Per i frattali si tratta sempre di regole o formule iterative, ossia tali da generare strutture particolari, con una caratteristica: l’autosomiglianza. Ossia, una parte dell’oggetto è uguale al tutto, come succede spesso in natura, per una montagna, dove una roccia può rappresentare una miniatura della montagna stessa o negli alberi o nei broccoli:

 
foto tratte da Flickr (bi_plus_oneemics)

Ma come possiamo costruire un frattale? Un esempio molto semplice è dato dalla curva di Koch.
Si parte da un segmento e si seguono le seguenti regole, come ben descritto qui:

1. dividere il segmento in tre segmenti uguali;
2. cancellare il segmento centrale, sostituendolo con due segmenti identici che costituiscono i due lati di un triangolo equilatero;
3. tornare al punto 1 per ognuno degli attuali segmenti.

Come previsto, la procedura è iterativa ed il risultato è il seguente:

 

Ovviamente man mano che le iterazioni aumentanto tanto più diviene impercettibile la deformazione della curva, a meno che non ci avviciniamo, per così dire, con una lente di ingrandimento.
E’ proprio come se volessimo disegnare il perimetro di un’isola a partire da una cartina geografica: tanto maggiore sarà la scala, tanto più riusciremo ad essere precisi. In effetti, nel tentativo di misurare con precisione la lunghezza della costa della Gran Bretagna, Mandelbrot, il padre dei frattali, si ricondusse al modello della curva di Koch. 

A questo punto è lecito chiederci, ma quanto è lunga la curva di Koch?
  

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30 Responses to I frattali: la matematica della natura

  1. astrofiammante ha detto:

    non vedo l’animazione…..l’immagine non è link…..ma per caso insegni matematica………il mio cervello non è predisposto a ragionamenti matematici e a volerne capire rischio di fondere velocemente……..quindi ti seguo meglio in altri itinerari…. Ciaoooo!

  2. astrofiammante ha detto:

    ops….funziona, scusa!

  3. lealidellafarfalla ha detto:

    precisione della natura. Complessità dalla semplicità, un saluto, Fabrizio

  4. lenny ha detto:

    E’ un argomento interessante che parte da un dato reale (particolare), per astrarne una regola generale.

  5. twostella ha detto:

    Trovo affascinante riuscire a vedere la matematica nella natura … son andata a sbirciare la biografia di Mandelbrot, anche questa sera ho imparato qualcosa. Grazie!

  6. Michelangelo ha detto:

    @astrofiammante: ehh…che ci vuoi fare, work in progress! Adesso tutto ok, no? Non insegno matematica, ma mi farebbe piacere se ti lasciassi guidare passo passo dai mie post (senza emicranie!).

    @Fabrizio: sapevo che questo post avrebbe avuto un effetto “attrattore”. Ma abbiamo appena cominciato il cammino verso la complessità della semplicità – bella questa come definizione del caos.

    @Lenny: come tutte le scienze trae origine nell’osservazione della natura, alla ricerca del Principio.

    @twostella: e ti sembra poco per me aver aggiunto questa briciola di conoscenza? Grazie a te!

  7. annarita ha detto:

    link

    Al link indicato sopra, ho affrontato la questione dei frattali con il post: “Dal merletto di Koch al fiocco di neve di Koch, la geometria frattale interpreta la natura!”

    Qui, un video e software per generare frattali

    La geometria frattale mi ha sempre affascinata…

  8. salsadisapa ha detto:

    i frattali sono una figata pazzesca: li ho studiati molto, mi hanno sempre incuriosito!

  9. Michelangelo ha detto:

    @annarita: ho sistemato i link perchè non ci stavano nello spazio del commento. Non avevo dubbi avessi già affrontato il tema.

    @Salsadisapa: eh sì, una roba pazzesca…come diceva un tempo Beppe Grillo!

  10. Anna righeblu ha detto:

    E’ un argomento interessante: i frattali in natura mi hanno sempre affascinato, felci, fiocchi di neve, cavolfiori… e anche il DNA.

  11. Michelangelo ha detto:

    @Anna: sì la somiglianza ritorna in molte cose. E’ un modello matematico versatile e molto bello. Chissà perchè non ne avevo parlato prima 🙂

  12. md ha detto:

    complimenti per la nitidezza dell’esposizione, un esempio di mini-lezione attraverso un blog, bravo Michelangelo!

  13. sandra di giacomo ha detto:

    Attraente per chi della matematica ha paura!

  14. frontespizio ha detto:

    Ci piacere spesso proporre in libreria i libri sui frattali che sono i fratelli “minori” di tante scienze, a torto!!!
    Ciao Michele.

  15. Michelangelo ha detto:

    @Mario e Sandra: vi ringrazio, il mio intentento è proprio quello di rendere fruibili piccole curiosità matematiche per permettere di apprezzare la bellezza di questa disciplina anche a chi non ne ha troppo confidenza

    @Michele: forse la moda dei frattali si è un po’ attenuata recentemente e sono diminuite le pubblicazioni in merito. Resta il fatto che è una branca della matematica nuova e tutta da esplorare.

  16. Federico Bo ha detto:

    Ciao Michelangelo.

    La geometria frattale è passata rapidamente da oggetto di studio teorico a strumento in varie discipline: per esempio per ricreare paesaggi naturali – montagne, nuvole, pianeti alieni – tramite la computer graphics si utilizzano tecniche frattali. Ma si utilizzano nozioni di geometria frattale anche nello studio dei sistemi dinamici, nella fisica del suolo, in biochimica e farmaceutica ed in molti altri campi, comprese arte e musica.

    Però non te la cavi così facilmente: in una teorica degustazione in cui si associ un vino ad ogni branca della scienza, che vino abbineresti alla geometria frattale? Risposta motivata, ovviamente… 🙂

  17. Michelangelo ha detto:

    Ciao Federico.

    E’ vero, ho avuto personalmente esperienza dell’uso dei frattali anche nella mia tesi di laurea proprio per simulare un suolo montagnoso. Il viaggio nei frattali è appena cominciato e ci porterà lontano!

    Intanto rispondo alla tua domanda sui vini. Ce ne è uno solo da abbinare ai frattali: è Chaos della fattoria Le Terrazze:

    http://www.fattorialeterrazze.it/

    che ne pensi? 😉

  18. […] frattali: la misura della curva di Koch Nel precedente post sui frattali, ci siamo imbattuti nella curva di Koch, un “oggetto geometrico” particolare, che ben […]

  19. Corrado ha detto:

    La curva di Koch ha lunghezza infinita pur essendo contenuta in un rettangolo di misura finita!
    Magia della geometria frattale (meglio complessa) che studio da anni…..

    Il segreto di questa proposizione che sembra assurda è nella dimensione di questi “mostri” geometrici che non è intera….

  20. Corrado ha detto:

    Un film come successione di fotogrammi non potrebbe essere contenuto in un cd eppure con la potenza della geometria complessa ci sta.
    Infatti la natura per disegnare se stessa non si sforza più di tanto…
    Memorizza soltanto le diversità copiando le identità e così risparmia memoria e tempo….

  21. Corrado ha detto:

    Ad Annarita…..
    La geometria frattale governa la natura non la interpreta…….
    Infatti abbiamo adesso capito, con la scoperta di questa geometria, come fa la natura a disegnare le varie forme osservabili…..
    Fu Bansley per primo a creare un programma informatico per generare una forma particolare della natura “LA FELCE”.

  22. annarita ha detto:

    @Corrado: sì la governa, ma noi la interpretiamo anche attraverso tale Geometria…

    Chi sei, scusa?

  23. Corrado ha detto:

    Ciao annarita, son un matematico 62 anni, da sempre appassionato, nel 1986, scrissi un programma in pascal per la generazionione di immagini dell’uomo mela e di suoi ingrandimenti per un commodore 64, una notte intera per una immagine….
    sto elaborando una teoria..che partendo dall’evoluzionismo di Darwin e passando attraverso i frattali mira a dimostrare come la natura abbia solamente creato un essere vivente che poi muta…e genera tutti gli altri…

  24. Annarita ha detto:

    Ciao, Corrado. Ti ringrazio di aver risposto.
    La tua teoria mi interessa. Mi farebbe piacere se mi tenessi aggiornata al riguardo.
    Passa a vistare i miei blog didattici, se ne hai voglia:

    http://scientificando.splinder.com

    http://lanostramatematica.splinder.com

    A presto!
    annarita:)

  25. Corrado ha detto:

    Mi fa piacere che un matematico per di più donna sia interessato alla mia teoria, ti do un indizio:
    La natura è gelosa dei suoi misteri e noi miseri umani abbiamo poco tempo per indagare…..
    Alcune sue “opere” le fa avvenire in tempi lunghissimi in modo che noi non abbiamo il tempo per fare osservazioni, ma con l’avvento dei computer siamo in grado di accorciare i tempi nelle simulazioni e quindi riprodurre in breve tempo quello che lei fa avvenire in millenni…..
    Ciao Corrado
    Visiterò i tuoi blog…e forse mi deciderò a crearne uno mio…

    • mario ha detto:

      gentile Corrado, sono un affiliato della tua idea-ipotesi-teoria: penso che ad es il sistema linfatico nei vegetali è antesignano , necessario precursore, del sistema linfatico del corpo dell’uomo, che quindi contiene l’esperienza el’idea di sistema linfatico, sviluppato alla forma umana, che contiene tutte( ma prorpio tutte? e qui arriva il dubbio) le altre forme.
      Un coreografo ora morto, Merce Kunningham, mostrò in una sua coreografia, come la vita sulla terra si guidata da forme rappresentate da figure con solo i meridiani dell’agopuntura, ovvero forme fatte dalle funzioni organiche che queste linee rappresentano.
      stiamo arrivando ad una concezione unica?
      mi sembra.
      sono matematico non praticante, naturopata osservante ( che osserva).
      Un saluto Mariano Menegotti

  26. […] la Curva di Koch rappresenta un buon modello per un tratto di costa, si possono costruire altri frattali per rappresentare alcune forme naturali, difficilmente raffigurabili con le forme geometriche […]

  27. melanie ha detto:

    salve a tutti!tra poco meno di un mese sarò alle prese cn gli esami di maturità, e mi piacerebbe molto “stupire” la commissione parlando dei frattali. Premetto che fino a ieri ne ignoravo l’esistenza e che la metematica non è il mio forte..ma mi piacerebbe tantissimo portare una tesina su qsto argomento,che mi ha davvero affascinata. secondo voi mi sto cacciando solo nei guai? e soprattutto, cosa potrei collegare a qsto argomento per qnto riguarda le altre materie?? GRAZIE IN ANTICIPO PER OGNI MINIMO SUGGERIMENTO!

    • Michelangelo ha detto:

      Ciao Melania, sicuramente l’argomento si presta per stupire la commissione, anche se non è facilissimo ed è importante prepararsi bene. Sopratutto capirne il significato.
      Ti consiglio di leggere i post presenti nel blog in ordine cronologico (vi riconoscerai un filo logico) e di approfondire alcuni elementi.
      I frattali si collegano molto facilmente alla musica, all’arte, all’economia e a molte altre discipline.
      In bocca al lupo!

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