Il paradosso di Russell

“In un villaggio c’è un unico barbiere.
Il barbiere rade tutti (e soli) gli uomini che non si radono da soli.
Il barbiere rade sé stesso?”.

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Che ne pensate? Proviamo a rispondere:
1. se il barbiere rade sé stesso, allora per definizione il barbiere non rade sé stesso;
2. se il barbiere non rade sé stesso allora, dato che il barbiere rade tutti quelli che non si radono da soli, il barbiere rade sé stesso.

In entrambi i casi siamo arrivati ad una contraddizione!

E’ il noto Paradosso di Russell, che racconta un problema con il quale si scontrò il famoso filosofo e matematico. Come per Pitagora, l’inaspettato “imprevisto” si presentò sul più bello, proprio quando l’idea di un’opera come i Principia Matematica sembrava essere una costruzione solida e perfetta contenente tutto il sapere matematico.

Ma cosa accade di imprevisto? Per scoprirlo occorre seguire un piccolo ragionamento, che – siete avvisati – potrà causare qualche mal di testa. I più temerari possono comunque continuare a leggere…

Cominiciamo così: prendiamo in considerazione due aggettivi come “corto” e “italiano”.
“Corto” è effettivamente una parola corta, di sole 5 lettere; “italiano” è proprio una parola italiana. Al contrario se consideriamo invece gli aggettivi “lungo” e “inglese”, possiamo notare che “lungo” non è una parola lunga, poichè è di sole 5 lettere, proprio come “corto” e “inglese” non è una parola inglese, eventualmente lo sarebbe “english”.
Possiamo così distinguere due categorie di aggettivi: “autologici” se il loro significato può essere attribuito a se stessi; “eterologici” se il loro significato non può essere attribuito a se stessi, ma ad altro.

I problemi nascono quando ci si chiede a quale delle due categorie appartengono gli stessi aggettivi “autologico” ed “eterologico”. Per il primo non ci sono problemi, è sicuramente autologico. Ma il secondo?

Se fosse autologico allora il suo significato sarebbe attribuibile a se stesso, ma se è così allora sarebbe “eterologico” perchè tale il suo significato, dunque attribuibile ad altro e quindi non autologico come ipotizzato.
Se fosse eterologico allora il suo significato sarebbe attribuibile ad altro, ma se è così allora sarebbe “autologico” in quanto è proprio quello il suo significato, dunque attribuibile a se stesso e non eterologico come ipotizzato.

ANcora una volta ci troviamo davanti ad una situazione indecidibile e paradossale.

Come se ne viene fuori?

Russell risolse il problema attraverso la Teoria dei tipi logici, ossia introducendo una sorta di ordine gerarchico tra la classe ed i suoi elementi. In questo modo “eterologico” non può essere classificato in una delle due classi (autologico o eterologico), in quanto di ordine gerarchico superiore agli elementi che contengono.

E’ chiaro che la Teoria dei tipi logici poneva un rimedio, ma non una soluzione a quello che si rivelò come uno dei problemi principali e più sconvolgenti della matematica del Novecento, un dramma, che Kurt Godel dimostrò con assoluto rigore: l’incompletezza.

25 risposte a Il paradosso di Russell

  1. Anna scrive:

    Allora, sono temeraria e incosciente: il barbiere rade se stesso in quanto esclusivamente uomo che rade se stesso e non barbiere (che rade un uomo che non rade se stesso)….ehm, ehm, …oppure: il barbiere rade se stesso in quanto barbiere che rade un uomo (se stesso) che non si rade da solo!!!
    Allora il “barbiere” quando rade se stesso è eterologico …oppure autologico?
    Ho sottovalutato la questione, e mi è venuto un gran mal di testa, forse sarebbe meglio cancellare questo commento, per non depauperare il tuo interessantissimo post!
    Non avrei dovuto affrontarlo a quest’ora…

  2. giovanna scrive:

    Bel post!
    Tempo fa citai il paradosso del barbiere, in forma più leggera… per forza!:-)
    http://matematicamedie.blogspot.com/2007/07/il-libro-dei-paradossi.html
    Il paradosso di Russel viene generalizzato con la teoria degli insiemi:
    “un insieme può essere o meno elemento di sé stesso?”
    e anche la proprietà di essere “autologico” o “eterologico” ne è una specie di metafora.
    …. un po’ di mal di testa si può rischiare, ma il tema è affascinante!:-)

  3. annarita scrive:

    Bel post, Michelangelo! Lo sai che ci ho già messo su gli occhi, no? Sai pure che in questo periodo, nonostante le vacanze, non ho tempo, ma appena posso voglio approfondire la discussione con un post su Matem@ticaMente.

    Colgo l’occasione per augurarti una Buona Pasqua e tanta serenità.

    Un abbraccio:).
    Annarita

  4. Michelangelo scrive:

    @Anna: temeraria, ti avevo avvertito! Però hai affrontato la questione per il verso giusto ed il problema è proprio quello…con i tipi logici, Russell “ci ha messo una pezza”. Ma sarà la strada giusta? Chissà…

    @Giovanna: ho letto il tuo post e ti ringrazio per la segnalazione. In effetti la classificazione degli insiemi è l’anticamera dei tipi logici, ma ho preferito non parlarne per non rendere il post troppo lungo (…mal di testa a parte!)

    @Annarita: attingi pure, l’argomento merita di essere ulteriormente sviscerato!

    Tanti auguri di buona Pasqua a tutti!
    Michelangelo

  5. Di Bertrand Russel so che si salvò a nuoto da un incidente aereo sulla manica: mens sana in corpore sano.
    Quello di Russel è da considerare uno stratagemma che aiuta ma non risolve.
    Un saluto, fabrizio

  6. annarita scrive:

    Michelangelo, ti ringrazio di esserti cimentato su Matem@ticaMente nella risoluzione del puzzle geometrico. Vieni a vedere la soluzione fornita da un professore di lettere, insegnante anche universitario oltre che in un liceo, rimarrai piacevolmente colpito!

    Se ne hai voglia, c’è anche un puzzle astronomico da risolvere su Scientificando;).

    Un abbraccio.
    Annarita

  7. Manuel scrive:

    Questo post mi ricorda molto il concetto di diversità! Cos’è diverso? Ciò che non è uguale a tutto il resto. Ottimo, ma il diverso può essere uguale a se stesso? Provate a pensare qualcosa che sia diverso e contemporaneamente uguale a se stesso: il paradosso è dietro l’angolo… Già Platone nel sofista si era accorto che il rapporto tra molteplicità ed unità esigeva necessariamente quello di differenza. Qualcuno sostiene che pensare la differenza è come pensare al nulla. Io sono d’accordo… Per quanto riguarda il paradosso di Russel esso rimane insoluto finche non si accetta che il barbire è l’unico uomo che rade se stesso… Banale se volete ma molto razionale.

    Complimenti Michelangelo: hai un blog meraviglioso.

  8. Michelangelo scrive:

    benvenuto Manuel, grazie per il tuo invervento!

    Seguendo il tuo ragionamento, direi che qualcosa di diverso in assoluto non esiste in quanto si configura come il “non è”.
    La differenza, a mio avviso invece, esiste ed ha una dimensione infinita, un po’ come i numeri irrazionali compresi tra due razionali consecutivi.

  9. Manuel scrive:

    Esatto!!! La tua riflessione è perfetta. Non può esistere una differenza assoluta, perchè è impensabile! In questa considerazione poniamo il “non pensiero” come un “assoluto non essere”. In questa ottica la diversità, se vogliamo ammetterne una possibilità di esistenza, dobbiamo concepirla come un infinito “non essere” che si oppone all’essere… In altre parole l’essere o l’unità è delimitato e, come direbbe Hegel, “determinato” da un infinito non essere.
    Il fatto che tu ritenga la differenza come numeri irrazionali è molto interessante. Ci rifletterò!

    Io non sono un matematico, però trovo la matematica e un pò tutte le materie scientifiche estremamenti affini alla filosofia…

  10. Michelangelo scrive:

    @Manuel: Mi fa piacere riscontrare il tuo interesse. vediamo se riusciamo a giungere ad una sintesi accettabile su due concetti complementari: la diversità e la differenza.

    La diversità (in senso assoluto) è un infinito o continuo “non essere” dunque non può esistere.

    Però ogni cosa è diversa dall’altra, dunque la diversità (in senso relativo) esiste ed è la differenza.

    La differenza esiste e tra due cose vi sono infinite differenze, magari piccolissime, impercettibili, infinitesimali ma pur sempre differenze.
    Proprio come tra due numeri razionali, per quanto vicini, esistono sempre infiniti numeri irrazionali.
    (e qui ti rimando ai miei post su Pitagora…)

  11. Manuel scrive:

    Come un filosofo: prima di affrontare certe questioni bisognerebbe sempre specificare le accezioni con cui vengono usati i termini. Mi scuso per la mia imprecisione. Il ragionamento che ho postato sopra andrebbe leggermente corretto. La tua sintesi riguardo a questi due termini trova il mio completo appoggio. Se ho capito bene per te la differenza “colmerebbe” il vuoto tra le unità, come un mare (infinito) in cui solo le isole (finite) sono razionali e quindi conoscibili.

  12. Michelangelo scrive:

    Tra due cose esiste sempre una differenza, anzi esistono infinite differenze. Proprio come nel paradosso di Zenone, presi due punti ve ne sono infiniti che li separano. Così tra un unità ed un altra vi sono infinite differenze.

    Il riferimento ai numeri (razionali e irrazionali) era solo un esempio. Scusa, non volevo trascinarti in uno spinoso parallelo matematico!

  13. Manuel scrive:

    Il paradosso di Zenone lo conosco molto bene e so anche che viene esemplificato in matematica con una serie numerica. Mi pare fosse la sommatoria che tende ad infinito di 1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32… che come risultato dovrebbe dare 2. Ora il problema filosofico del paradosso è capire se questo infinito è potenziale o attuale (secondo le categorie aristoteliche) perchè se è potenziale allora non raggiungerà mai 2, tendendo ad infinito a 2; ma se è un infinito attuale, allora il 2 è raggiunto! Oggi in filosofia si tende a considerare l’infinito attuale. Così a fatto Hegel per esempio.

    Non scusarti, a me piace collegare le discipline, mi aiuta a pensare considerando i vari punti di vista!

  14. Michelangelo scrive:

    Caro Manuel, collegare e confrontare più discipline è sicuramente fonte di nuove idee (e per questo il mio blog è così eterogeneo).

    Veniamo al paradosso di Zenone. E’ proprio come tu dici. ma il problema filosofico di cui parli è stato risolto da secoli grazie alla matematica delle serie geometriche: il risultato della sommatoria riferita al paradosso di Zenone è proprio 2.
    Infatti la somma di una serie geometrica con ragione 1/2 è pari a 1/(1-x) con x=1/2.

  15. Manuel scrive:

    Grazie per la precisazione. Concorda infatti con quello che la filosofia dichiara oggi, considerando quell’infinito attuale! Mi piace questo modo di procedere: la filosofia pone le domande e la matematica risolve i problemi, temporaneamente, si intende…

    Non so quanto sia attinente col tema dell’incompletezza in matematica, ma mi ricordo benissimo che Hegel trovava proprio nel concetto di “mancanza” il motore che muoverebbe ogni ente dell’universo. Tendiamo alla completezza perchè siamo incompleti, tendiamo a colmare la mancanza e in questo “negativo” dell’esistenza troviamo la spinta vitale verso lo “spirito assoluto”.

  16. Michelangelo scrive:

    La matematica può fornire molte risposte, ma anch’essa poggia le fondamenta su assiomi, per quanto ovvi, che sorreggono l’intero costrutto.
    Nel caso della somma, la dimostrazione non è attaccabile.

    Il tema dell’incompletezza è fondamentale nella matematica moderna, come dimostrano i problemi legati alla categorizzazione di Russell e, successivamente a quanto affermò Godel, con il teorema dell’incompletezza.
    Ciò che manca può essere colmato, come affermi, con un atto di fede verso lo “spirito assoluto”.

  17. […] è che ritroviamo celata dietro questa singolarità, le stesse peculiarità logiche del paradosso di Russell, anche in questo caso ci troviamo di fronte davanti ad una posizione indecidibile, problema che […]

  18. Galliano Moreale scrive:

    Il barbiere è donna.

  19. andrea scrive:

    inizio a pensare che il barbiere sia dio

  20. Vincenzo scrive:

    Quando il barbiere rade se stesso non è più il barbiere ma un privato cittadino (il barbiere è un ruolo non una persona)

  21. Shevaar scrive:

    Il barbiere è donna!

  22. giò scrive:

    “non vorrei mai appartenere a un Club che avesse ME tra i suoi soci!” cit. G. Marx

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  24. Anonimo scrive:

    Il barbiere è un ruolo, non una persona

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