Simon Singh – L’ultimo Teorema di Fermat

Singh S., L’ultimo Teorema di Fermat, Rizzoli, 1997

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Nel 1637, Pierre de Fermat, un arguto avvocato con la passione per la matematica, leggendo una copia dell’Arithmetica di Diofanto di Alessandria, ebbe una brillante intuizione:

 “non esistono tre numeri interi positivi a, b, c, che verificano l’equazione: 

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con n > 2.”

Entusiasta, Fermat aggiunge in margine del quaderno: “Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina”.

Purtroppo la “meravigliosa dimostrazione” del geniale matematico, morirà con lui ed il teorema resterà irrisolto per oltre 350 anni…

Per secoli sarà la chimera della matematica: un’affermazione vera, di cui però sfugge continuamente la dimostrazione. Si arriverà persino a dubitare dell’effettiva dimostrabilità della stessa.

Il libro di Simon Singh, uno dei primi volumi divulgativi di matematica, ripercorre le storie legate al Teorema di Fermat, a partire dal concetto di numero dei pitagorici, fino alle più complesse branche della logica odierna e fino alla soluzione definitiva nel 1995 da parte dell’ormai celebre matematico Andrew Wiles.

Un viaggio attraverso le storie ed i personaggi che, nei secoli, hanno scritto le più straordinarie pagine della matematica. Un libro appassionante ed accattivante, essenziale per chi vuole comprendere lo spirito ed il vero fascino della matematica.

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9 risposte a Simon Singh – L’ultimo Teorema di Fermat

  1. caravaggio ha detto:

    serena e gioiosa conclusione del 2007

  2. umberto esposito ha detto:

    L’ULTIMO TEOREMA DI FERMAT E IL TEOREMA MIRABILIS DI GALLO
    La prima dimostrazione a livello mondiale (27 dic, 1993, Roma) di tipo DIRETTA ed ORIGINALE dell’ULTIMO TEOREMA DI FERMAT o UTF relativo all’equazione diofantea (F) x^n+y^n=z^n ad opera di un solo autore è stata quella ottenuta dal matematico italiano Onofrio Gallo (n 1946 a Cervinara, Valle Caudina). L’UTIMO TEOREMA DI FERMAT è un caso particolare del TEOREMA MIRABILS DI GALLO che è relativo alle equazioni diofantee del tipo (G) ax^r+by^s =cz^t; infatti la (F) si ottiene dalla (G) per a=b=c=1 e per r=s=t=n.
    La dimostrazione dell’UTF ottenuta da Gallo si fonda su un tipo di logica non euclidea fondata sul Principio di Disidentità di Gallo e sull’indicatore di risolubilità di Gallo per soluzioni intere della (F).
    L’intera dimostrazione occupa solo sei pagine e si trova anche presso il Dipartimento di Matematica dell’Università di Gottingen in lingua francese sin dal mese di ottobre 1994 e sin dal 2004 presso l’Accademia Norvegese delle Scienze e delle Lettere, presso il Comitato del Premio Abel, contenuta in una fondamentale memoria di O. Gallo di oltre sessanta pagine.
    Onofrio Gallo ha anche ricostruito la probabile dimostrazione elementare dell’UTF da parte di Fermat (la “demontrationem mirabilem”
    di cui parla Fermat nel margine della sua copia del Diofanto, edito dal Bachet, Parigi 1621).Infatti Onofrio Gallo suggerisce una seconda via, di tipo numerica, per così dire, che il matematico tolosano avrebbe potuto percorrere.Tale “via” appare nel suo CODEX CERVINSARENSIS ed utilizza il metodo della “discesa infinita” di Fermat, dimostrando l’UTF, prima per soluzioni consecutive del tipo x, x+1, x+2, e poi, generalizzando, per soluzioni x, x+a,x+b con a>1 e b>2. A cura di U. Esposito

  3. umberto esposito ha detto:

    IL PRINCIPIO DI DISIDENTITA’ DI GALLO
    FORMULE RISOLUTIVE DELLE EQUAZIONI DI I E DI II GRADO E’ possibile ri-ottenere le formule classiche delle equazioni algebriche di grado n=1,2 per vie diverse da quelle finora conosciute risalenti ad Euclide (via geometrica) ed agli Arabi ( vie geometriche (Omar Khayyam et al. ) e via algebrica (Al-Khuvarizmi)? A tale interrogativo ha risposto in modo originalissimo nel suo CODEX CERVINARENSIS il matematico italiano Onofrio Gallo (n, 1946 a Cervinara, Valle Caudina) sin dal 1995. I suoi risultati si fondano sull’applicazione del Principio di Disidentità di Gallo che può assumere forme diverse a seconda del contesto logico-operativo nel quale ci si muove in ambito matematico. Storicamente coloro che per primi, per un motivo o per un altro, hanno capito l’importanza di spostare le loro ricerche nell’ambito dei numeri complessi per semplificare ed accelerare il progresso delle Matematiche, sono stati i matematici E. Galois (1811-1832) (che accenna ad una “Teoria dell’ambiguità” in una delle sue ultime lettere), A.L.Cauchy (1789-1857)( colui che più di ogni altro ha sfiorato il detto principio anche se inconsciamente), e G. F.B. Riemann (1826-1866) creatore della geometria ellittica (non euclidea) e che ha teorizzato la necessità di operare nel campo dei complessi per ottenere risultati fondamentali nell’ambito della Teoria delle funzioni dei numeri reali e complessi. La “scoperta” di tale principio fondamentale è alla base della rivoluzionaria TTIE (Teoria delle Trasformazione delle Identità in Equazioni) (1989) di Onofrio Gallo. Mediante il suo Principio di Disidentità, Onofrio Gallo ha fornito ( 27 Dicembre 1993, Roma) , tra l’altro, in solo sei pagine!, la prima e (a tutt’oggi) l’unica dimostrazione DIRETTA a livello mondiale ad opera di un singolo autore del celebre Ultimo Teorema di Fermat contenuto come caso particolare (r=s=t=n ed a=b=c) nel Teorema Mirabilis di Gallo che è relativo alle più generali equazioni diofantee del tipo ax^r +by^s =cz^t, con r≠s≠t ed a≠b≠c interi e non nulli. Tale dimostrazione si trova sia a Gottingen (27 Ottobre 1994, memoria di sei pagine in lingua francese, la lingua di P. de Fermat) sia in alcune pagine della sua memoria New “Disquisitiones” On The Number Theory che si trova presso l’Accademia delle Scienze e delle Lettere di Oslo (2004, in lingua inglese), la stessa che gestisce il Premio Abel per le Matematiche. Diamo qui un primo esempio della potenza in campo matematico del Principio di Disidentità di Gallo. Tralasciando i casi più “raffinati” n=3,4( che richiedono il calcolo, rispettivamente, di tre e di quattro componenti di Gallo) riportiamo una sintesi di quanto appare nell’opera citata relativa alle formule delle equazioni algebriche di gradi n=1 ed n=2. E’ noto che l’equazione (E1) 1ax+b=0 ammette la soluzione x=-b/a. Essa si può ottenere anche mediante l’equazione” pseudodiofantea” di Gallo (G1) 1ax +0y=-b associata alla (E1), dopo aver introdotto l’incognita “apparente” di Gallo y, dalla quale mediante la formula di Gallo (FG.1) x= (c-b –bt)/(a-b) ; y= (a-c +at)/(a-b) con t (parametro di Gallo)= x+y-1 (intero) relativa alle equazioni diofantee lineari (D/2) ax+by=c , si ottiene subito x= (-b-0-ot)/(a-0) =-b/a che coincide esattamente con la soluzione classica. Si può notare subito che le soluzioni diofantee della (G1) sono tali , al variare dei valori della y, che è la componente fissa delle soluzioni della (G1) a costituire la soluzione x =-b/a della (E1). Nel caso n=2 per l’equazione algebrica (E2) ax^2 +bx+c=0 si procede come segue. Utilizzando il Principio di Disidenttà di Gallo per ottenere la prima componente additiva della formula risolutiva dell’equazione (E2), si considera la (E’1) 2ax +b=0 ( ottenibile dalla (E1) per 1=2 (Principio di Disidentità di Gallo) o dalla (E2) per c=0 e per x^2=x ( IDEMPOTENZA, che è una delle varie forme del Principio di Disidentità di Gallo): Dalla (E’1) si ottiene subito x=xG1= -b/2a (prima componente di Gallo). Per ottenere la seconda componente di Gallo xG2, poniamo per chiarezza nella (E1) y=x^2 e b/1 =b/2 (IDEMDIVISIBILITA’, una nuova forma del Principio di Disidentità di Gallo ), otteniamo subito ay + (b/2)x +c=0 che, per x=xG1= -b/2a, ci dà ay –(b^2)/4 +c=0 Da cui , essendo y=x^2, si ottiene x^2= (b^2-4ac)/4(a^2 ) e quindi x=xG2=[ ±√ (b^2-4ac)]/2a. Ne segue che la formula risolutiva della (E2) è data dalla somma delle due componenti di Gallo x=xG1 +xG2 = [-b ±√ (b^2-4ac)]/2a che coincide esattamente con la formula classica!
    A cura di U. Esposito.

  4. umberto esposito ha detto:

    Segnalo il seguente fondamentale articolo EQUAZIONI ALGEBRICHE GENERALI DI 1 RISOLUZIONE COL METODO DEGLI INTERVALLI DIGRADO n (intero finito) GALLO.
    Sia (En) anx^n+ an-1x^(n-1)+……+a1x +a0 = 0 l’equazione generale di 1, con ai (i=0,…,n) reali non nulli (interi,grado n (intero finito) razionali o irrazionali). Se definiamo Intervallo di Gallo relativo alla (En) l’intervallo IGn=[r, s] di estremo inferiore r e di estremo superiore s, con r ed s (reali) tali che r = (-a0/a1)^(1/n) ed s = (-a0)^ (1/n), essendo r un valore per difetto ed s un valore per eccesso , rispettivamente di (a0/a1)^(1/n) e di a0^ (1/n), allora è possibile risolvere (senza usare le formule risolutive delle equazioni generali o complete di gradi n=1, 2 o le formule di Cardano (n=3) o di Ferrari (n=4) ) con il cosiddetto Metodo degli intervalli di Gallo ( detto anche Metodo delle Forche Caudine di Gallo) non solo equazioni di grado n=1,2,3,4, ma anche ogni altra equazione generale di grado n (finito)>4. In generale se la (En) ammette soluzioni intere (o razionali), esse sono deducibili dal confronto degli Intervalli di Gallo IGn con i fattori interi del termine noto Tn=a0 della (En). Se, eventualmente an≠0, la (En) ammette soluzioni razionali occorre considerare anche gli Intervalli di Gallo I’Gn=[r’, s’]=[r/an, s/an]. Se n è pari ed a0 >0, allora si considerano i valori assoluti dei radicandi di r e di s. Per non appesantire la trattazione abbiamo preferito omettere eventuali indici agli estremi r,s,r’,s’ degli Intervalli di Gallo, cosa che invece abbaimo fatto relativamente agli stessi intervalli e alle soluzioni della (En) ad essi associate.Il Metodo degli Intervalli di Gallo, con alcuni accorgimenti, si applica anche nei casi in cui le soluzioni della (En) sono reali (irrazionali) o complesse.
    Nel Codex Cervinarensis del matematico italiano Onofrio Gallo (n. 1946 a Cervinara, in Valle Caudina), vengono trattati casi delle equazioni algebriche generali di gradi n=1, 2, 3,4, 5,6 e viene fornita almeno una soluzione reale immediata (soluzione algebrica di Gallo associata ad una misteriosa formula generale di Gallo non riportata dall’Autore) delle equazioni algebriche generali di grado n=6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Qui , per brevità, riportiamo la trattazione dei casi n=1,2,3,4,5 ( a soluzioni intere o razionali) fondata sul Metodo degli Intervalli di Gallo.
    Caso n=1 Sia da risolvere la(E1) 3x- 7= 0. Poiché IG=[r, s]= [7/3, 7] l’unica soluzione della (E1) è data da x=7/3 =r, contenuta in IG . Caso n=2 Sia da risolvere la (E2) x^2- 7x +12= 0. Poiché IG=[r, s]= [√ (12/7), √12]= [1, 4] ( dove r è un valore per difetto ed s un valore per eccesso degli estrimi di IG) la prima soluzione della (E2) è x1=4=s e abbassando di grado la (E2) otteniamo l’equazione di primo grado (E1) x-3=0 per cui x2=3 è la seconda soluzione della (E2). Entrambe le soluzioni sono contenute in IG. Caso n=3 Sia da risolvere la (E3) x^3- 61x^2+ 1151x -6851 = 0. Poiché IG= [4, 19], essendo 6851= 1*13*17*31, la prima soluzione della (E3) è x1= 17 (prossima ad s=19), per cui, abbassando di grado la (E3) otteniamo l’equazione di secondo grado (E2) x^2-44x +403=0 per la quale si ha IG=[3, 21], con x2=13 seconda soluzione della (E3), contenuta in IG . Abbassando di grado la (E2) otteniamo infine la (E1) 13 x-31=0 alla quale resta associato l’intervallo di Gallo IG=[ 31/13; 31], cioè x3=31, terza soluzione della (E3), che coincide con l’estremo superio s di IG . Le soluzioni della (E3) sono x1= 17 , x2=13 , x3=31. Caso n=4 Sia da risolvere la (E4) 17 x^4- 479x^3+ 4351x^2 -13129x +218 = 0. Poiché IG= [3, 7] oppure[3/17, 7/17] (poiché il coefficiente di x^4 è ora diverso da 1) essendo 2184=1*3*7*8*13, la prima soluzione della (E4) è x1=7.Abbassando di grado la (E4) otteniamo l’equazione di terzo grado(E3) x^3-360x^2 +1831x -312=0 per la quale si ha IG=[3, 7] oppure [3/17, 7/17]: Si vede subito che x2=3/17=r è la seconda soluzione della (E4), contenuta in IG=[3/17, 7/17], in quanto coincidente con r=3/17. Abbassando di grado la (E3) otteniamo la (E2) 17x^2-357 x +1768=0 per la quale si ha IG=[10, 43] nel quale cade la terza soluzione della (E4) data da x3=13 . Abbassando infine di grado la (E2) otteniamo la (E1) 17x-136=0 alla quale resta associato l’intervallo di Gallo IG==[136/7, 136]= =[8, 136] La quarta soluzione della (E4) x4=8 coincide con l’estremo inferiore r=8 di IG. Le soluzioni della (E4) sono pertanto x1= 17 , x2=3/17 , x3=13 ed x4=8 . Caso n=5 Sia da risolvere l’equazione algebrica completa di quinto grado (E5) 17 x^5- 1057x^4+20637 x^3-161063 x^2 +448570x- 74256 = 0. Poiché IG5= [5, 10] oppureIG’5= [5/17, 10/17], risultando T5=74256= 1*3*7*8*13*34 si ha che x1=7 (più prossima di 8 ad r) è la quinta soluzione di (E5). Abbassando di grado la (E5) otteniamo l’equazione di quarto grado (E4) 17x^4-938x^3 +14071x^2 -62566x +10608=0 per la quale si ha IG4=[4, 11] oppure I’G4= [4/17, 11/17]: Si vede subito che 8 è il fattore di T5 contenuto in IG4 più prossimo ad s =11 che ad r=4 , per cui x2=8 è la quarta soluzione della (E5), Abbassando di grado la (E4) otteniamo la (E3) 17x^3-802 x^2 +7655x -1326=0 per la quale si ha IG3=[4, 11] oppureI’G3= [4/17, 11/17] . Non soddisfacendo la (E3)il fattore 3 di T6, la terza soluzione, di (E5) è x3=13 (x3 è esterna ad IG3), prossima ad s=11. Abbassando di grado la (E3) otteniamo la (E2) 17x^2-581x +102=0 alla quale restano associati gli intervalli di Gallo IG2=[2, 11] oppureI’G2= [2/17, 11/17]. La quarta soluzione della (E5) è x2=3/17 (composto dal fattore 3 di T5 e dal denominatore a5=17) prossimo ad r’=2/17. Abbassando infine di grado la (E2)otteniamo la (E1) 17x-578=0 per cui IG1==[578/17, 578] =[34, 578]. La prima soluzione di (E5) è x1=34=r. Le soluzioni della (E5) sono pertanto x1= 34 , x2=3/17 , x3=13,
    A cura di U. Esposito

  5. umberto esposito ha detto:

    IL TEOREMA MIRABILIS DI GALLO -APPLICAZIONI Com’è noto l’Ultimo Teorema di Fermat (UTF) è un caso particolare del Teorema Mirabilisdi gallo, il quale non solo dimostra l’UTF, ma consente anche di mettere da parte lo stesso Teorema di Pitagora, in quanto con un solo lato consente il calcolo degli altri due di un triangolo rettangolo ( senza radici quadrate, senza tentativi e senza l’uso delle frazioni continue!)
    Un primo esempio? Se T è il triangolo rettangolo di ipotenusa z=5 e si voglino calcolare i due cateti di T, mediante la funzione di simmetria di Gallo di grado 2 F(w)= 25 -2 w ^2 , relativa all’equazione pitagorica (P) x^2 +y^2=25, basta far variare il parametro w tra i valori (1,2,3,4) (interi positivi che variano in (1,2,..,(z-1)) per ottenere i due valori SIMMETRICI F(3)=+7 ed F(4)=-7, per w1=3 e w2=4: per cui i cateti misurano 3 (=w1) e 4 (=w2): in tal modo abbaimo calcolato i due cateti di T conoscendo solo la misura dell’ipotenusa, senza tentativi, senza radici quadrate e senza l’uso delle frazioni continue! Ma può capitare che la stessa ipotenusa sia comune ad un numero k >1 di triangoli rettangoli (“gemelli”), ad esempio quando z = (4n+1)^k con 4n +1 primo, anche in tali casi il Teorema Mirabilis di Gallo, con una sola applicazione, permette di calcolare “per simmetria” i 2k cateti incogniti, senza tentativi, senza radici k-me e senza frazioni continue. Supponiamo, ad esempio, che sia nota l’ipotenusa z=625 di un triangolo rettangolo T. Essendo z=625= 5^4 ( ed essendo 5=4n+1, per n=1, un numero primo), sappiamo che l’ipotenusa di T è comune a quattro triangoli rettangoli gemelli Ti (1=1,2,3,4), per cui occorre calcolare gli otto cateti dei quattro triangoli rettangoli gemelli che hanno l’ipotenusa z=625 in comune . Essi si ottengono mediante il Teorema Mirabilis di Gallo utilizzando la funzione di simmetria di Gallo F(w)= 625 -2 w^2 , di grado 2, relativa all’equazione pitagorica x^2+y^2= 625. Per ottenere i cateti incogniti occorre determinare i valori h e k (naturali >0) tali che risulti verificata la condizione di simmetria di Gallo (GCS) F(h)= – F(k) con h e k variabili in V=(1,2,..,(z-1))=(1,2,…., 624).
    Gli otto cateti incogniti dei triangoli Ti sono le coppie ( h, k) (interi >0) date da (175,600), (220,585), (336, 527), (375, 500), come si evince dalle seguenti simmetrie:

    F (175)=329375/k F(600)=-329375/k
    F (220)=293825/k F( 585)=-293825/k
    F (336)=164833/k F( 527)=-164833/k
    F (375)=109375/k F (500)=-109375/k
    Quindi i quattro triangoli rettangoli gemelli, che hanno l’ipotenusa z=625 =54 in comune, sono i seguenti:
    T 1 =(175, 600, 625)
    T 2 =(220, 585, 625)
    T 3 =(336, 527, 625)
    T 4 =(375, 500, 625). Sintesi dal CODEX CERVINARENSIS di Onofrio Gallo (n.1946 a Cervinara, Valle Caudina)
    a cura di U. Esposito.

  6. umberto esposito ha detto:

    ULTIME SCOPERTE MATEMATICHE
    LA SECONDA DIMOSTRAZIONE ELEMENTARE E DIRETTA DELL’ULTIMO TEOREMA DI FERMAT.

    Dopo aver fornito, in solo sei pagine, per primo a livello mondiale, la prima (27.XII.1993, Roma) dimostrazione generale originale di tipo DIRETTA , fondata sul suo originale Principio di Disidentità e sulla sua originalissima TTIE (1989), dell’ULTIMO TEOREMA DI FERMAT (UTF) e dopo aver ricostruito (per discesa infinita) per la prima volta la probabile “demonstrationem mirabilem”, di tipo elementare, dello stesso Pierre de Fermat (1601-1665), il matematico italiano Onofrio Gallo (n.1946 a Cervinara, Valle Caudina) nel suo Codex Cervinarensis (Sezione Congetture) riporta una seconda dimostrazione non solo “elementare”, ma anche di tipo “diretta” dell’UTF. Tale dimostrazione si fonda sul seguente LEMMA DI GALLO (10 marzo 1997): “ Sia (k,r,n) una terna di interi positivi. Se (EDG) (1^r +k^r)^n + (2^r +k^r)^n = (3^r +k^r)^n è l’equazione diofantea di Gallo e se c=a/b, con a e b, rispettivamente, elementi della diagonale principale e della diagonale secondaria della matrice simmetrica A di Gallo 2×2, di prima riga a11=a=r1 , a12=b=n1 e di seconda riga a21=b=r2 , a22=a=n2, allora, condizione necessaria e sufficiente, affinchè la (EDG) ammetta almeno una soluzione intera positiva, è che sia c=2”
    (DIM.: Risultando, per k=2 e per a11=a=r1=2, a12=b=n1=1, a21=b=r2=1, a22=b=n2=2 , c=a/b= 2/1 =2 (intero positivo), la (EDG) ammette, per n=n1=1, la soluzione intera positiva (k, r1, n1)=(2, 2, 1); mentre per n=n2=2 ammette la soluzione intera positiva (k, r2, n2)=(2, 1, 2)).
    Riportiamo ora la seconda dimostrazione “elementare” e “diretta” dell’UTF ottenuta da Onofrio Gallo il 10 marzo 1997.
    ULTIMO TEOREMA DI FERMAT (UTF)
    “L’equazione diofantea (F) x^n+y^n= z^n , con x, y, z, n interi positivi, non ammette soluzioni intere positive se n è maggiore di 2”
    (DIM. Se si prendono x=(1^r +k^r)^n ; y=(2^r +k^r)^n ; z= (3^r +k^r)^n con k,r, n interi positivi, allora l’equazione di Fermat (F) e l’equazione di Gallo (EDG) risultano equivalenti.
    Ne segue, per il LEMMA DI GALLO, che la (F) per n=1 ammette, per (k, r1, n1)=( 2, 2, 1) come soluzione intera positiva la terna pitagorica primitiva (5, 8, 13), mentre per n=2 la stessa (F) ammette , per (k, r2, n2)=( 2, 1, 2), come soluzione intera positiva la terna pitagorica primitiva fondamentale (3, 4, 5). Poiché per k=2, per a11=a=r1=2, a12=b=n1=3, a21=b=r2=3, a22=b=n2=2, e per a11=a=r1=2, a12=b=n1=4, a21=b=r2=4, a22=b=n2=2, risultando, rispettivamente, c= 2/3 (non intero) e c=2/4 (non intero), se ne deduce, in generale ( risultando c=2/ s non intero, per ogni intero positivo s maggiore di 4) che la (EDG), o , per equivalenza, che l’equazione di Fermat, per valori di n maggiori di 2, non ammette soluzioni intere positive. Il che prova la validità dell’UTF).
    COMMENTO: Come già dimostrato mediante il nostro Teorema Mirabilis (1993) il fatto che la (F) non ammette soluzioni intere positive ( e più in generale “intere”) deriva dalla mancanza di “simmetria” nella (F) non appena risulta n maggiore di 2. Mediante il nostro Lemma il fatto che dev’essere c=2 deriva da una proprietà strutturale della matrice simmetrica A, le cui diagonali sono formate da elementi fissi a11=a22=2 e a12=a21=1. Mentre la (F) non è risolubile “per soluzioni intere” (positive) non appena n è maggiore di 2, segnalando la scomparsa della “simmetria” presente nella (F) per n=1 ed n=2, la dimostrazione fornita per quest’altra via della validità dell’UTF, si fonda sul fatto che non appena gli elementi a12=a21 della diagonale secondaria della matrice simmetrica A assumono valori positivi maggiori di 1, il valore di c non intero positivo, per cui la (EDG), e quindi anche la (F), non risultano mai soddisfatte.
    A cura di Umberto Esposito per gentile concessione dell’Autore.

  7. umberto esposito ha detto:

    ULTIME SCOPERTE MATEMATICHE- RISOLTA L’IPOTESI DI RIEMANN!
    Il matematico italiano Onofrio Gallo (n. 1946 a Cervinara, Valle Caudina), autore della prima e unica dimostrazione generale di tipo “diretta” a livello mondiale (27.XII.1993, Roma) del celeberrimo Ultimo Teorema di Fermat (caso particolare del Teorema Mirabilis di Gallo), dopo aver fornito la soluzione minima in interi positvi del più famoso problema dell’Antichità (il famoso Problema dei Buoi di Archimede, da lui ampliato con ulteriori quesiti contenuti in altri due “addendum” , ognuno di otto distici, con i quali ha sfidato i matematici a risolverli) ha deciso finalmente di pubblicare la dimostrazione del suo Teorema RH che risolve uno dei maggiori problemi matematici di tutti i tempi, il cosiddetto VIII Problema di Hilbert o Ipotesi di Riemann, formulata nel 1859 dal grande matematico tedesco G.B. Riemann (1826-1866) nella sua unica memoria sulla Teoria dei Numeri “Uber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grosse” ( Sul numero dei primi minori di una certa grandezza ) di solo dieci pagine e che, per circa un secolo e mezzo fino ai nostri giorni, ha impegnato le menti di matematici di prim’ordine e di ogni nazionalità.
    E’ noto che F. G. B. Riemann per calcolare gli zeri complessi o non banali della funzione zeta ( diciamoli z= a+ib con 0<a<1 e con a, b reali non nulli e z diverso da 1) in corrispondenza di un numero complesso s fece uso di una formula “segreta” che gli consentiva di calcolare sia a (parte reale) sia b (coefficiente della parte immaginaria bi) di z. Gli zeri di Riemann si ottengono sia in corrispondenza degli interi negativi pari ( come -2, -4, ecc) sia per valori complessi s. Gli zeri di Riemann calcolati in corrispondenza dei valori complessi si presentavano la singolarità di avere tutti come parte reale a=1/2. In altri termini i valori complessi a+ib che annullavano la funzione zeta di Riemann giacevano con la loro parte reale sulla retta reale x=1/2, al punto che lo stesso Riemann, colpito da tale singolarità, ebbe a scrivere:
    “ Sarebbe auspicabile, indubbiamente, che si disponesse di una dimostrazione di questo asserto: tuttavia per il momento ho messo da parte tale ricerca dopo qualche infruttuoso tentativo, poiché essa mi appare superflua per gli scopi immediati del mio studio”.
    Da parte sua, a proposito del suo Teorema RH , ecco quanto ha dichiarato Onofrio Gallo:
    "Ho risolto, in poco più di una pagina, uno dei più difficili problemi delle Matematiche, quello relativo all’Ipotesi di Riemann (RH o Riemann Hypothesis) sulla base di due miei Principi logici fondamentali, in perfetta sintonia con il Teorema d’Incompletezza di K. Godel, senza gli inutili e sofisticatissimi armamentari messi sino ad oggi in campo dalla comunità matematica mondiale”.

    La “singolare” e originalissima dimostrazione del Teorema RH di Gallo in realtà fu ottenuta da Onofrio Gallo il 29.XII.2004 che subito dopo depositò la relativa memoria presso l’Accademia Norvegese delle Scienze e delle Lettere, senza mai diffondere- sino ad oggi- altrove la sua dimostrazione. L’VIII Problema di Hilbert è stato in assoluto il più celebre e il più ostico dei 23 problemi posti dal matematico tedesco David Hilbert nel 1900, nel corso del secondo Congresso Internazionale di Matematica svoltosi a Parigi.
    Dopo un periodo di circa un secolo e mezzo nel corso del quale i matematici hanno tentato di rsisolverli tutti, fino al 2004, erano rimasti solo tre problemi di Hilbert da risolvere, dei quali l’VIII (quello risolto da Onofrio Gallo) era indubbiamente il più difficile di tuttti.
    Per il momento ci limitiamo a riportare il seguente commento finale di Onofrio Gallo, autore della strabiliante impresa:
    “La dimostrazione del Teorema RH evidenzia senza ombra di dubbio che la validità dell’Ipotesi di Riemann dipende semplicemente da due applicazioni del Principio di Disidentità di Gallo (espresse dalle (4) (per 1=i) e dalle corrispondenze (11) (per 1=i)) e dalla conseguente validità del Secondo Principio Generale della Conoscenza (espresso come Principio d’Identità dei polinomi relativo alla corrispondenza biunivoca (12)).
    In conclusione senza la doppia applicazione del Principio di Disidentità e le sue conseguenze è impossibile ottenere una dimostrazione a livello generale dell’Ipotesi di Riemann indipendentemente dal formalismo collegato alla funzione zeta di Riemann. Né, allo stato attuale delle conoscenze sulla funzione zeta di Riemann, è possibile prevedere quanti ulteriori fiumi d’inchiostro potrebbero essere versati in futuro (per quanti anni secoli o millenni ?) dai matematici del futuro nel tentativo quasi certamente vano di realizzare il sogno di Hardy e di Hilbert, vale a dire quello di ottenere una dimostrazione generale dell’Ipotesi di Riemann di tipo “diretta” (fondata esclusivamente sul formalismo collegato alla funzione zeta di Riemann).” Il Teorema RH di Gallo (The Riemann-Gallo Theorem, Oslo, 2004) si trova, oltre che nel suo Codex Cervinarensis, anche presso l’Accademia Norvegese delle Scienze e delle Lettere,
    A Cura di Umberto Esposito per gentile concessione dell’Autore.

  8. umberto esposito ha detto:

    RISOLTO L’VIII PROBLEMA DI HILBERT O IPOTESI DI RIEMANN – TEOREMA RH-MIRABILIS DI GALLO –
    Ed ecco cosa scrive nel suo Codex Cervinarensis (Sezione Congetture), il matematico italiano Onofrio Gallo ( n.1946 a Cervinara, Valle Caudina):
    “Il geniale matematico tedesco G.F- B. Riemann (1826-1866) nel suo unico saggio di appena dieci pagine sulla Teoria dei Numeri, dal titolo “Sul numero dei numeri primi inferiori a una grandezza data”(novembre 1859, nelle note mensili del Bollettino dell’Accademia di Berlino), aveva elaborato sei congetture relative alla funzione zeta. La sesta è quella che va sotto il nome di Ipotesi di Riemann:
    “Ogni zero complesso (non banale) della funzione zeta ha la parte reale che giace sulla retta reale x=1/2” .
    Mediante la sua formula segreta, Riemann andò oltre i 138 zeri calcolati col “metodo di Eulero”. Molti anni dopo, a Cambridge, alcuni studenti di Hardy riuscirono a calcolare 1041 “zeri di Riemann” tutti aventi la parte reale sulla retta reale di Riemann x=1/2.
    Tale formula “segreta” è ora nota come “formula di Riemann-Siegel”, in quanto fu ricostruita dal matematico tedesco C.L. Siegel in seguito ad un approfondito esame degli scritti e dei lunghissimi calcoli a mano dello stesso Riemann contenuti nel suo inedito Nachlass ( conservato a Gottingen).
    Nella sua ricerca sui numeri primi Riemann trovò una funzione R(n), detta funzione di Riemann, fondata sulla funzione zeta, in base alla quale si ottengono ottime approssimazioni della funzione di distribuzione dei numeri primi.
    Vale a dire che mediante R(n) si ottengono, per ogni n fissato, ottime stime del numero di primi inferiori ad n. Per esempio per n = 10exp9 (un miliardo) la R(n) ci dice che esistono all’incirca 50 847 455 numeri primi inferiori al miliardo.
    La formula di R(n) è espressa da 1 sommato ad una particolare somma composta da infiniti termini frazionari , tra i denominatori dei quali figurano, tra gli altri, i valori della funzione zeta calcolati in corrispondenza degli infiniti valori (k+1).
    I matematici fino ad oggi, con l’ausilio di potentissimi elaboratori elettronici, sono riusciti ad ottenere miliardi di miliardi di zeri di Riemann, verificando di fatto che, per ciascuno di essi, è sempre valida l’Ipotesi di Riemann, cioè che risulta invariabilmente x=1/2.
    Il tutto nella (finora) vana speranza di trovare un solo zero di Riemann che non si trovi sulla retta reale di Riemann x=1/2.
    Ma fino ad oggi non solo non si è mai trovato un controesempio all’Ipotesi di Riemann, ma neppure hanno fatto importanti o significativi progressi sulla ricerca di una dimostrazione della stessa Ipotesi di Riemann. Né il futuro in tal senso appare roseo.
    Occorre forse abbandonare la funzione zeta? O indirizzare le ricerche partendo da nuovi punti di vista?
    Le risposte potrebbero trovarsi proprio a partire da alcune idee espresse dallo stesso Riemann.
    Egli era convinto che l’uso delle funzioni complesse fosse assai utile per scoprire nuove linee di ricerca e/o per interpretare in modo nuovo e originale teorie e congetture (già esistenti o future).
    Nella sua Inauguraldissertation (1851) Riemann afferma:
    “ L’immissione delle quantità complesse in Matematica trae origine e scopo immediato dalla teoria delle funzioni che esprimono dipendenza semplice tra le variabili per mezzo di operazioni sulle stesse”.
    Se, infatti, di attribuiscono valori complessi alle variabili che figurano in tali funzioni, allora – conclude Riemann- “ si presenta un’armonia e una regolarità che altrimenti non verrebbero evidenziate”.
    A tale proposito il matematico Onofrio Gallo scrive:
    “ Siamo perfettamente in sintonia con quest’idea di fondo, in caso contrario non avremmo creato dal nulla la nostra TTIE (1989) che rappresenta il culmine di tale idea riemanniana che, a sua volta, si salda con un’altra grande idea, quella della “Teoria dell’ambiguità” intravista dal genio di E.Galois, al di là della Teoria dei gruppi, nel seguente passo del suo pensiero, estrapolato dalla sua “ultima lettera” all’amico A. Chevalier del 29 maggio 1829, alcune ore prima del duello fatale:
    “Le mie principali meditazioni, da qualche tempo, riguardavano l’applicazione della teoria dell’ambiguità all’analisi trascendente. Si trattava di stabilire a priori, in una relazione tra quantità o funzioni trascendenti, quali scambi si potessero fare, quali quantità si potessero sostituire alle quantità date, senza che la relazione potesse venir meno. Il che consente di riconoscere subito l’impossibilità di molte espressioni che si potrebbero cercare. Ma io non ho tempo, e le mie idee non sono ancora ben sviluppate su questo terreno, che è immenso.”
    Siamo certi che per Galois, come per Riemann, la nostra TTIE avrebbe costituito la “teoria ideale” per scoprire le armonie e le regolarità riconoscendo subito le impossibilità in cui un matematico spesso finisce per imbattersi, molto spesso, con grande delusione, dopo lunghi periodi relativi alla ricerca di un teorema o alla verifica di una teoria, finendo quasi sempre per impantanarsi nelle paludi di oscuri labirinti della mente dai quali non è per nulla facile venir fuori seguendo i percorsi della logica ordinaria euclidea.” Non per nulla Onofrio Gallo, nel 2004, sulla base dei numeri primi di Gallo di prima specie di classe pari e di grado 1, mediante la funzione psi di Gallo, è riuscito ad ottenere, nel campo dei numeri complessi, una teoria parallela a quella della celebre funzione ζ (zeta) di G.B. Riemann ( 1826-1866) e, sempre nello stesso anno, sulla base della funzione “ibrida”ϕ (fi) di Gallo, egli ha dimostrato il fondamentale Teorema RH di Gallo . Ma esiste anche una seconda dimostrazione, quella cosidetta “sintetica” dell’Ipotesi di Riemann ottenuta da Onofrio Gallo il 10 marzo 2005 sulla base del suo formidabile Teorema Mirabilis. Tale dimostrazione, riportata alla fine di questo articolo, si compone di appena sette righe.
    La prima “singolare” e originalissima dimostrazione del Teorema RH di Gallo in realtà fu ottenuta da Onofrio Gallo il 29.XII.2004 che subito dopo depositò la relativa memoria presso l’Accademia Norvegese delle Scienze e delle Lettere, senza mai diffondere- sino ad oggi- altrove né la prima né la seconda delle sue dimostrazioni dell’RH.
    Le chiavi della prima (27 .XII.1993, Roma) dimostrazione generale diretta dell’Ultimo Teorema di Fermat (o UTF), ad opera di un unico autore a livello mondiale, furono create dallo stesso Onofrio Gallo e sono le due seguenti:
    a) il Principio di Disidentità di Gallo, scoperto nell’ambito della sua TTIE ( o Teoria delle Trasformazioni delle Identità in Equazioni , del 1989)un principio paradossale ( agli occhi degli esterrefatti “ geometri euclidei” ) appena percepito, sia pure in modo nebuloso, per certi aspetti dallo stesso Cauchy nel corso delle applicazioni della Teoria delle congruenze di ordine superiore creata da Gauss e ripreso in seguito , sotto una nuova luce, da L. Kronecker (1823 -1891) ai fini di un’aritmetizzazione dell’intera Matematica: accantonare l’unità immaginaria, in quanto -secondo lui- “Tutti i risultati delle più profonde ricerche matematiche devono alla fine potersi esprimere sotto la semplice forma di proprietà dei numeri interi”;
    b) il Secondo Principio Generale della Conoscenza, F F = C , dove F è una proprietà “falsa o non esatta”,  un algoritmo opportuno e C è una proprietà “vera o esatta “, adoperato fin dall’antichità sotto vari nomi e in vari capitoli delle Matematiche ed anche inconsapevolmente all’ultimo istante (19.09.1994) dallo stesso Wiles, che si avvalse di due teorie (quella di Iwasawa e quella di Kolivagin-Flach, che singolarmente non funzionavano, ma prese insieme) e che gli permisero di dimostrare la validità parziale della Congettura di Taniyama-Shimura e la conseguente dimostrazione generale indiretta dell’UTF,
    Con le stesse “ chiavi” Onofrio Gallo mediante il suo Teorema RH è riuscito ad aprire per la prima volta lo scrigno contenente i segreti dell’Ipotesi di Riemann.
    Ma in questa sede, a dimostrazione della potenza del Teorema Mirabilis di Gallo, anch’esso si fondato sulle stesse “ chiavi” di cui s’è detto, ci limitiamo a riportare la dimostrazione “sintetica” dell’Ipotesi di Riemann (RH) racchiuso nel cosiddetto Teorema RH-Mirabilis di Gallo ,opera, ancora una volta, dello stesso matematico Onofrio Gallo, costituita di solo sette righe. La seconda dimostrazione dell’RH, il Teorema RH-Mirabilis di Gallo, risale alla primavera del 2005 (10 marzo 2005) e si fonda sia sull’applicazione del noto Teorema Mirabilis di Gallo e sia su una ben nota proprietà degli zeri della funzione zeta di Riemann, vale a dire che, se ζ(s)=0, anche ζ(1-s)=0. Pertanto sia il Teorema RH di Gallo sia il Teorema RH-Mirabilis di Gallo risolvono una volta per tutte l’VIII Problema di Hilbert. Tale problema è stato in assoluto il più celebre e il più ostico dei 23 problemi posti dal matematico tedesco David Hilbert nel 1900, nel corso del secondo Congresso Internazionale di Matematica svoltosi a Parigi.
    Dopo un periodo di circa un secolo e mezzo nel corso del quale i matematici hanno tentato di rsisolverli tutti, fino al 2004, erano rimasti solo tre problemi di Hilbert da risolvere, dei quali l’VIII (quello risolto da Onofrio Gallo) era indubbiamente il più difficile di tuttti. Per apprezzarne tutta la bellezza matematica del Teorema RH-Mirabilis di Gallo, e per una migliore comprensione del significato e dell’importanza del Teorema Mirabilis di Gallo (Roma, 27 dic., 1993, Gottingen 27 ott. 1994, Oslo sett. 2004), per i meno esperti, consigliamo di visionare su questo meraviglioso sito che ci ospita le APPLICAZIONI del TEOREMA MIRABILIS di GALLO.

    Con una leggera variante lo stesso Teorema Mirabilis di Gallo, viene ora applicato alla soluzione z=x+iy dell’equazione di Riemann ζ(z)=0, anziché alla stessa ζ(z)=0, In tal modo ingegnoso e singolare il matematico cervinarese, a quanto pare, è riuscito a venire a capo dell’”enigma degli enigmi” (dimostrazione dell’Ipotesi di Riemann) mediante il “più semplice dei più semplici” dei teoremi delle Matematiche; vale a dire mediante il seguente:
    TEOREMA RH-MIRABILIS DI GALLO (ex-Ipotesi di Riemann)
    “Con z≠1, x ed y reali non nulli, se z=x+iy è uno zero non banale della funzione zeta ζ(s) di Riemann, allora ζ(s)=0 e ζ(1-s)=0 se, e solo se, Re(z)=1/2”
    DIM.: Al generico zero di Riemann z=x+iy della funzione zeta di Riemann ζ(s) resta associata la funzione complessa di simmetria di Gallo (1) F(z)=(z-x)/y.
    Per il Teorema Mirabilis di Gallo, essendo per ipotesi ζ(s)=0 e ζ(1-s)=0 , ne segue che dev’essere soddisfatta la seguente condizione di simmetria di Gallo (CSG) F(s)= -F(1-s).
    Ed essendo F(s)= (s-x)/y da un lato ed F(1-s) =(1-s-x)/y dall’altro, ne segue, per la (CGS), che dev’essere (s-x)/y = (1-s-x)/y , vale a dire x=Re(z) =1/2.
    Pertanto, essendo per ipotesi s ed 1-s anch’essi zeri di Riemann, per quanto dimostrato,deve risultare anche Re(s)=Re(1-s)=1/2, che è quanto volevasi dimostrare.
    Attenzione: La presente dimostrazione è stata depositata in sede opportuna ed è coperta dal diritto d’Autore , pertanto è vietato riportarne per intero o in parte il testo senza il consenso scritto dell’Autore; tuttavia è ammesso citare sia il contenuto in forma sintetica o indiretta con l’obbligo di citare in ogni caso l’Autore e la fonte.
    A cura di Umberto Esposito , per gentile concessione dell’Autore

  9. umberto esposito ha detto:

    TEOREMA DI PITAGORA- ULTIME SCOPERTE MATEMATICHE- ALTRI CINQUE TEOREMI DI GALLO
    Riportiamo per comodità degli studiosi la formula generale di Gallo dell’equazione pitagorica ed alcuni teoremi stabiliti dal matematico italiano Onofrio Gallo (n. 1946 a Cervinara, Valle Caudina) negli anni novanta del secolo XX che figurano nel suo CODEX CERVINARENSIS e che qui appaiono per la prima volta nella Storia della Matematica.
    Le soluzioni generali di Gallo relative all’equazione pitagorica (P), con z assegnata, si ottengono applicando una delle quattro formule diofantee di Gallo, che si ottengono dall’equazione diofantea
    aX +bY=c , che, con a=b=1 e c=z2; X=x2 ed Y=y2, equivale all’equazione pitagorica
    (P) x2+y2= z2
    Ad esempio la prima di tali formule è la: (G.1) X = (c – b- bt)/d ; Y=(a-c + at)/d
    con t (intero) = X+Y-1 e si applica scrivendo la (P) nella forma (P’) x2 – (-y2)= z2
    Per cui otteniamo:

    x2= (z2+1 +t)/2
    y2= (z2-1-t)/2 (formule (GP.1) di Gallo, con x<y<z)
    con t =(intero negativo pari)= x2-y2-1 che termina con le cifre finali 0, 2, 4, 8.

    Un’altra formulazione equivalente del Teorema di Pitagora dovuta ad Onofrio Gallo, che va sotto il nome di Teorema p-equivalente di Gallo è la seguente:

    “Sia T un triangolo qualsiasi di lati x<y<z. Sia TG il trapezio di Gallo di base maggiore z, di base minore y e di altezza z-y, allora la terna (x,y,z) è una terna pitagorica e T è rettangolo se, e solo se, l’area di TG è x2/2.”
    Dimostriamo prima che il Teorema di Pitagora implica il Teorema p-equivalente di Gallo: per ipotesi si ha .(P) x2+y2 = z2 ( e T risulta rettangolo), che scriviamo nella forma (P’) z2 -y2 = x2
    Poiché z2 -y2 = (z+y)(z-y), allora , dividendo ambo i membri di (P’) per 2 , otteniamo (z+y)(z-y)/2 = x2/2 , il che, se z è la base maggiore , y la base minore e (z-y) l’altezza di TG, implica il Teorema p-equivalente di Gallo.
    Viceversa, se vale quest’ultimo teorema, da esso segue subito il Teorema di Pitagora e, pertanto, T è rettangolo..
    Infatti, se z è la base maggiore , y la base minore e (z-y) l’altezza di TG, allora l’area di TG è (z+y)(z-y)/2 e ,se tale area vale x2/2, allora risulta (z+y)(z-y)/2 = x2/2.
    Da tale uguaglianza, moltiplicando ambo i membri per 2, segue:
    2(z+y)(z-y)/2 =2 x2/2 cioè (z+y)(z-y) = x2, da cui z2 -y2 = x2 e , in definitiva, .(P) x2 +y2 = z2, per cui T è rettangolo.
    Il che dimostra la tesi

    Corollario:: “Se l’indice di Gallo è k=1 (con k=z-y) nella terna pitagorica primitiva (x, y, z),con x< y< z, allora l’area A di TG è la media aritmetica di z e di y, risulta cioè A=(z+y)/2”
    ( Si ha subito: A= (z+y)(z-y)/2 = (z+y)1/2=( z+y)/2 )

    Si nota subito che l’area di TG è minore dell’area di T, cosa che segue dal precedente corollario:
    Infatti nel caso in cui sia k=1, se Area di TG < Area di T, allora (z+y)/2 < xy/2 ossia ( y+1+y) < xy, da cui 2y+1< xy  2y-xy +1<0  y 1/(2-x)  y >1/(x-2) ; il che è sempre vero in quanto il minimo valore di x (<y <z) è x=3 , mentre il minimo valore di y è y=4.

    Un’altra generalizzazione geometrica nel piano euclideo del Teorema di Pitagora, dovuta ad Onofrio Gallo, è la seguente::

    “ In un triangolo qualsiasi T di lati xi, y, z (con i=1 oppure i=2), con y=OP e con z=OB, raggio della circonferenza di centro O, essendo P un punto della corda AB= x1+x2, tale che AP= x1 e PB= x2, risulta (TPG) x1x2+ y2= z2 “
    Si noti che T è ottusangolo in P (se x1 x2), mentre T è un triangolo rettangolo se P coincide col punto medio M di AB.
    In tal caso, posto x= x1 = x2, l’equazione di Gallo (TPG) s’identifica con l’equazione pitagorica (P) x2+ y2=z2 .
    Se PM , la (TPG) segue subito dal classico Teorema delle corde (aventi il punto P in comune).
    (Supposto x1<x2, tracciato il diametro di estremi H e K, passante per i punti O e P, con K tale che PKx2, segue la tesi).

    vi) Esistono altre generalizzazioni del Teorema di Pitagora a più dimensioni, fino alla più recente, quella non- standard, ottenuta da O. Gallo generalizzando algebricamente in un nuovo tipo di logica non euclidea l’equazione pitagorica (P) nell’ambito della sua TTIE o Teoria delle Trasformazione delle Identità in Equazioni (1989), relativa alla più generale equazione diofantea di Fermat (F) xn + yn= zn ( per n>2) ed espressa dall’equazione associata di
    Gallo Non standard: (G) φ2 – (2 z2n -1)φ +(z4n- z2n) = 0 le cui soluzioni (G’) φ=xnyn costituiscono in assoluto la prima generalizzazione Non standard n-dimensionale del Teorema di Pitagora in forma moltiplicativa nella Storia della Matematica.

    Il Teorema di Pitagora e la successione di Fibonacci.
    Esiste qualche tra il Teorema di Pitagora e la ben nota successione di Fibonacci F=(1,1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610,….)?
    La risposta è positiva.
    Infatti recentemente il matematico Charles Raine ha stabilito il seguente:

    Teorema di Raine:” Presi quattro elementi consecutivi f i (i=1,2,3,4) di F, la terna
    (x, y, z) =( f1f4 ; 2f2f3 ; f22 +f32 ) è una terna pitagorica”.
    Ad esempio per i primi quattro elementi consecutivi 1, 1, 2, 3 di F otteniamo la terna pitagorica
    x = 1×3= 3 ; y = 2x1x2= 4, z= 12+22= 5; scegliendo invece i quattro elementi consecutivi di F: 34, 55, 89, 144 otteniamo la terna pitagorica : x=34×144=4896; y = 2x55x89= 9790; z = 552 +892 = 10946
    Sussiste altresì il seguente:
    Teorema di Gallo :” Se Ri (i=1,2,3,4,,5, , n, ….) sono le infinite terne pitagoriche di Raine associate alle quaterne consecutive della successione F di Fibonacci, risulta che Ri  T(ki)2 , essendo T(ki)2 la famiglia delle terne pitagoriche di Gallo di indice (ki)2 , con ki i-mo elemento della successione F di Fibonacci “
    Ad esempio la prima terna pitagorica di Raine (3,4,5) è elemento di T1=T12 e il numero 1 ( base di 12) è il primo elemento di F e la quaterna consecutiva di Fibonacci associata è (1,1,2,3).
    La seconda terna pitagorica di Raine è (5,12,13) è elemento di T1= T12 e il numero 1( base di 12) è il secondo numero di Fibonacci, per cui la seconda quaterna consecutiva di Fibonacci è (1,2,3,5) ; la terza terna pitagorica di Raine è (16, 30,34) è elemento di T4 =T22 e il numero 2 (base di 22) è il terzo numero di Fibonacci e la terza quaterna consecutiva di Fibonacci associata è (2,3,5,8); la quarta terna pitagorica di Raine è (39, 80, 89) è elemento di T9=T32 e il numero 3 (base di 32) è il quarto numero di Fibonacci e la quarta quaterna di Fibonacci associata è (3,5,8,13); la quinta terna pitagorica di Raine è (105, 208, 233) è elemento di T25= T52 e il numero 5 (base di 52) è il quinto numero di Fibonacci, per cui la quinta quaterna consecutiva di Fibonacci associata è ( 5,8,13, 21); e così via.
    Mentre per la nona terna pitagorica di Raine (4896, 9790, 10946) , essendo l’indice di Gallo k = 10946-9790= 1156, risultando 1156= 342, è elemento di T1156=T342 e corrisponde alla quaterna consecutiva di Fibonacci (34, 55, 89, 144) di F, il cui primo elemento (=34) è la base dell’indice di Gallo (=342).
    In altri termini i valori ki , base degli indici di Gallo (ki)2, al variare di i in (1,2,3,4,5,…,n,….) descrivono esattamente l’intera successione F di Fibonacci e sono i primi elementi di ciascuna delle quaterne di Raine.
    Inoltre per la generica quaterna di elementi consecutivi (a,b,c,d) di F, sussistono, tra le altre, le seguenti due proprietà evidenziate dallo stesso Gallo:
    1) a2+b2 = 2(b2+c2) ;
    2) ad -bc = ± 1 ( +1 per le quaterne di posto dispari e -1 per quelle di posto pari)

    Il Teorema di Pitagora in ambito casuale. (Dal Codex Cervinarensis –Sezione Matematica casuale)
    Ma, ci si potrebbe domandare, è possibile stabilire un Teorema di Pitagora in ambito casuale, ossia un C-Teorema di Pitagora ?
    Per pervenire ad un C-Teorema di Pitagora, che come vedremo sarà del tipo (CP/1) X+Y=Z, con X,Y,Z quantità intere positive opportune, Onofrio Gallo, per analogìa alla dizione “Ultimo Teorema di Fermat”, ha dimostrato che in ambito casuale sussiste il seguente C-Ultimo Teorema di Fermat:
    “ Se X, Y, Z sono tali che (X,Y,Z)=( a2+b2 ; 2y2; c2) con a2= x2c -y2c ; b2 =z2c-y2c; c2= x2c+z2c con yc<xc1”
    (Dim.: Nel caso n=2 (>1), tenuto conto di come sono stati scelti X,Y,Z, si perviene all’uguaglianza
    Assurda x2c+z2c = y2c , in quanto, per ipotesi, dev’essere yc<xc<zc).
    Pertanto per n=1 segue facilmente il seguente C-Teorema di Pitagora espresso dalla relazione c-pitagorica: (C-P) X +Y =Z
    (DIM.: Tenuto conto di come sono stati scelti X,Y,Z, in questo caso si perviene all’identità 0=0, il che prova il teorema).

     Esempio 1: Scegliendo a caso y=16, x=23, z=79 otteniamo a2= 273; b2=5985; c2=6770 e quindi X+Y =Z è verificato, in quanto X=6258; Y=512, Z=6770.
     Esempio 2: Scegliendo a caso una delle due t.p.p gemelle che hanno z=65 in comune come, ad esempio, la terna pitagorica y=33 , x=56, z=65, otteniamo a2=2047, b2=3136; c2=7361 e quindi, essendo X=5183, Y=2178, Z=7361, il C-Teorema di Pitagora è verificato.
    E’ possibile stabilire un C-Teorema di Pitagora per n=2, nella forma:
    “ Se yc<xc è una c-coppia ordinata di numeri interi positivi , allora risulta:
    (C-G) a2c + y2c=x2c,
    con 2= esponente ed ac numero intero casuale e il triangolo rettangolo casuale associato ha per lati (ac,yc,xc) se ac<yc; oppure (yc,ac,xc) se yc<ac” ?
    La risposta è negativa…in quanto ac , in generale, è un numero casuale reale (non intero), come nell’esempio che segue.
     Esempio 1 Per yc =16 ed xc=23 risulta ac=√273 quindi il c-triangolo rettangolo associato è individuato dalla c-terna (yc, ac,xc)=( 16, √273, 23).

    E’ovvio, pertanto, che, se esistesse un siffatto C-Teorema di Pitagora , per n=2, esso dovrebbe necessariamente identificarsi sic et simpliciter con il Teorema di Pitagora, se si vuole che anche ac risulti intero.

    A cura di Umberto Esposito per gentile concessione dell’Autore.

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