Il numero di Nepero: la genesi

Il Numero di Nepero e è di fondamentale importanza in moltissime discipline, dalla Fisica all’EconomiaNei testi di matematica è definito in questo modo:

nepero_e.png

E cosa significa? Praticamente, scegliamo un numero n molto grande; poi aggiungiamo 1 all’inverso di n e, infine, eleviamo tutto ad una potenza pari proprio ad n. Ora più n è grande e più ci si avvicina ad un certo numero che chiamiamo e.

e è un numero irrazionale ed è pari a 2.71828…

Detta così la cosa non entusiasma più di tanto. Ma, prestando bene attenzione, c’è qualcosa di strano, qualcosa che sembra non quadrare…

 

Vediamo perchè. Nelle proprietà delle potenze una cosa su tutte è certa:

1. se a < 1, a^n tende a 0, per n tendente a infinito
2. se a = 1, a^n = 1, per ogni n
3. se a > 1, a^n tende a infinito, per n tendente a infinito

Allora come è possibile che un numero comunque maggiore di 1, anche se di un infinitesimo, tenda ad un numero finito al crescere dell’esponente? 

In effetti e nasce in una sorta di misteriosa zona d’ombra tra il secondo e terzo caso: da una parte il termine 1/n tenderebbe a zero, dall’altra il binomio (1 + 1/n), sicuramente maggiore di 1 (terzo caso) dovrebbe tendere ad infinito. Facciamo qualche prova, cercando il valore di (1 + 1/n)^n al crescere di n (asse delle ascisse):

nepero_e1.gif

I due effetti si bilanciano, così al crescere di n, l’effetto dell’esponente estremamente grande è vanificato da una base sempre più prossima ad 1, sempre più neutra. All’inizio prevale l’effetto dell’esponente, quando il termine 1/n non è poi così piccolo (ma per fortuna lo è l’esponente!). Poi si raggiunge un equilibrio che abbiamo chiamato e.

Mi piace pensare ad e come il risultato di una serrata negoziazione tra due controparti: l’esponente, teso verso l’infinito e la base, ancorata all’unità.

9 risposte a Il numero di Nepero: la genesi

  1. annarita scrive:

    Bel post, Michelangelo! Interessante interpretazione di “e”! Ma non me lo avevi promesso per il blog di matematica?

  2. Michelangelo scrive:

    Grazie! Se vuoi, linkalo pure sul tuo blog, mi farebbe molto piacere!

  3. annarita scrive:

    Va bene, appena ho un attimo di tempo, curo un post contenente una serie di link ai tuoi articoli di matematica che mi interessano in particolar modo.

    Ciao:)

  4. Michelangelo scrive:

    Perfetto! Intanto preparo qualcos’altro…

  5. Marco scrive:

    Amo la matematica.trovare siti che trattano argomenti complessi con facilita e chiarezza come il tuo mi fa davvero piacere.complimenti,grande!

  6. marcov scrive:

    Ho passato un ora intera a leggere una parte dei post da te pubblicati sul blog:dire che sono fantastici è dire poco.Complimenti per il sito e complimenti per la tua cultura!passerò con piacere molto tempo sul tuo blog,grazie!

  7. m.stoffelen scrive:

    (e ^z = 1 + z)= codifica una della dozzina di configurazioni elettroniche possibili in un ione.

  8. Roberto scrive:

    Ciao Michelangelo, molto interessante questa visione della cosa. Mi piacerebbe approfondire la conoscenza su questo affascinante numero, tu per caso hai letto qualche libro che ne parla e che mi puoi consigliare?
    Grazie.

  9. Se lo stesso limite tendesse a 0?

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