Leonardo Fibonacci e i conigli

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Un tempo la matematica serviva soprattutto per fare affari. Il celebre matematico Leonardo Pisano, detto Fibonacci, prima di essere un matematico, fu un mercante. Viaggiò molto, toccando le sponde dell’Asia Minore e del nord Africa. Entrò in contatto con gli arabi e conobbe nuovi sistemi di calcolo e numerazione.

Come un ape che, spostandosi di fiore in fiore, permette l’impollinazione, così Fibonacci contribuì allo sviluppo della cultura europea occidentale.

Il suo Liber abbacitesto medioevale di straordinaria importanza, segna una svolta in Europa: porta per la prima volta la numerazione arabo-indiana, quella che utilizziamo ancora oggi e lo zephyrus, il numero zero, che – praticamente un ossimoro – quantifica il nulla.

I capitoli del Liber Abbaci affrontano il problema della rappresentazione dei numeri e propongono nuovi metodi di calcolo. L’ultimo capitolo è tra i più interessanti, in quanto propone esercizi, prevalentemente teorici, che trovano però molte applicazioni pratiche. Uno in particolare ha reso celebre il matematico:

Un tale pose una coppia di conigli in un luogo circondato da pareti. La coppia iniziò a riprodursi a partire dalla fine del primo mese e ogni mese generò una nuova coppia di conigli. Tutte le altre coppie, nate nel corso dell’anno, iniziarono a riprodursi a partire dal secondo mese dopo la nascita e anch’esse generarono una nuova coppia ogni mese, quante coppie di conigli nascono complessivamente in un anno?

Evidentemente si tratta di un esercizio, privo di riscontro reale, ma che permette di esercitarsi a un tipo di problemi che oggi possono essere risolti facilmente al computer, attraverso un algoritmo iterativo. Non a caso la parola algoritmo trae origine dall’arabo Al Khwaritzmi di cui Fibonacci conobbe sicuramente le opere.

Il gioco è semplice: il primo mese c’è solo una coppia di conigli, il secondo mese ce ne sono 2 di cui una fertile, quindi il terzo ce ne sono 3 di cui 2 fertili, quindi il quarto mese ce ne sono 5 di cui 3 fertili, quindi il quinto mese ce ne sono 8 di cui 5 fertili e così via. Fibonacci nota che ogni termine della sequenza è la somma dei due precedenti.Nasce così la celebre successione di Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

La successione di Fibonacci ha portato ad approfondire moltissimi ambiti della matematica e delle scienze naturali. Tuttavia pur avendo scoperto questa importante successione, Fibonacci non ne colse molti aspetti. Bisognerà aspettare quasi quattro secoli, affinchè Keplero noti che il rapporto tra due termini successivi, tende alla Sezione Aurea svelando geometrie meravigliose bellissime.

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16 Responses to Leonardo Fibonacci e i conigli

  1. frontespizio ha detto:

    Il suo libro “giochi matematica nel medioevo” è da tempo in bella presenza nella nostra libreria.
    Sei sempre puntuale.
    Michele

  2. annarita ha detto:

    Michelangelo, interessante questo post! Anche sul mio blog l’estate scorsa ho pubblicato qualcosa in relazione ai “conigli di Fibonacci”, mi piacerebbe approfondire la relazione tra la successione di Fibonacci e la sezione aurea….per i miei alunni!

    Non ho il tempo materiale in questo periodo con sei blog da gestire, la collaborazione con una rivista e altro, a parte l’ordinario!

    Te la sentiresti di produrre un post da pubblicare sul mio blog di matematica su questa relazione meravigliosa, che sia alla portata di ragazzi di scuola media?

    A presto:)
    Annarita

  3. Michelangelo ha detto:

    Michele, molto simpatico il testo a cui ti riferisci. L’ho letto ed offre spunti interessanti che vorrei riprendere in futuro. L’unica pecca è che è poco economico, come mai?

    Annarita, ti suggerisco di leggere i due post precedenti sulla Sezione Aurea, potrebbero essere una valida introduzione all’argomento. Fammi sapere!

  4. frontespizio ha detto:

    Michelangelo è un tascabile e costa 12,50. E’ tutta italiana questa scelta. In Francia, Inghilterra e altri paesi europei i classici variano da un costo di 3 a un massimo di 5 euro e si legge anche di più.
    Michele

  5. Michelangelo ha detto:

    Capisco, Michele. Una scelta editoriale per trovare il break-even. D’altra parte senza le inutili illustrazioni a colori tale somma non si sarebbe potuta giustificare, ma probabilmente il prodotto non avrebbe raggiunto un fatturato interessante. E vabbè, pazienza, diciamo.

    Anche Fibonacci, da buon mercante aveva problemi di questo tipo! 🙂

  6. luisa ha detto:

    Il Medioevo si scopre con autorevolezza un lungo ma intenso periodo di conoscenze e di scoperte. Bella Michelangelo la tua passione!
    Luisa

  7. Anna ha detto:

    Ciao Michelangelo. Leggendo il tuo post mi sono ricordata di avere quel libro dallo scorso anno e l’ho ripescato, lo leggerò… Le due pagine e la copertina , con le opere della serie di Fibonacci al neon, forse non giustificano il costo ma potrebbero giustificarlo i contenuti.

  8. Michelangelo ha detto:

    Luisa, mi fa piacere trasmetterti tanto interesse per un periodo oscuro ma ricco di sorprese!

  9. Michelangelo ha detto:

    Anna, per le opere con il neon…no comment! 😉

    Sinceramente le pagine illustrate nel libretto le trovo del tutto inutili. Potevano toglierle risparmiando su carta, inchiostro e…prezzo di copertina!

    Ma per Fibonacci, ne vale comunque la pena!

  10. […] prima volta con il problema dei conigli, che portò alla sua celebre successione. La seconda volta, ancor più clamorosamente, fu […]

  11. […] realistiche. Ad esempio possiamo ipotizzare una regola che determina il numero dei rami secondo la successione di Fibonacci, o anche orientare nello spazio i rami, formando di volta in volta angoli diversi. In tali casi il […]

  12. umberto esposito ha detto:

    ULTIME SCOPERTE MATEMATICHE – TEORIA DEI NUMERI – I NUMERI AREA-CONGRUI 157, 751, 4199.
    I medioevali (Fibonacci e i Magistri abaci, ma anche gli Arabi) affrontarono due problemiimportanti ai confini tra l’aritmetica e l’algebra; i problemi dei numeri quadrati congruenti e quelli relativi ai numeri area-congrui ai quali qui ci riferiremo cercando di fare il punto dello stato delle ricerche attuali in merito.
    E’ convinzione di qualche acuto studioso di Geometria Algebrica, si veda sul WEB l’articolo di Massimo Bertolini a proposito della Congettura di Birch e di Swinnerton-Dyer, che “il più semplice triangolo rettangolo TR “ a lati razionali corrispondente al numero area-congruo n=157 sarebbe TR=( 6803298487826435051217540/ 411340519227716149383203; 411340519227716149383203/ 21666555693714761309610; 224403517704336969924557513090674863160948472041/8912332268928859588025535178967163570016480830), la cui ipotenusa è una frazione razionale che ha ben 48 cifre al numeratore e ben 45 cifre al denominatore e fa concorrenza persino alla soluzione particolare di A. Amthor relativa al celebre Problema dei Buoi di Archimede non solo per il numero delle cifre, ma soprattutto per la grossa inesattezza affermata.
    Stando così le cose non vi sarebbe alcuna possibilità di riuscire ad ottenere almeno alcun TR avente lati espressi da frazioni razionali formate da numeratori e donominatori con un numero di cifre inferiori al “limite” bertoliniano…il che (Udite! Udite!) sarebbe suffragato dalla seguente conclusione introduttiva ( a cura della Redazione? ) preposta a mo’ d’introduzione ad un articolo cartaceo, apparso alcuni anni addietro su una rivista per insegnanti e cultori di matematiche pure ed applicate che si fregia del nome di “Archimede” ( Anno LIII. Gen.-Mar. 2001, p. 32), intitolato “Curve ellittiche e numeri congruenti” a firma …di tale Massimo Bertolini, Dipartimento di Matematica Pura e Applicata, Università degli Studi di Padova:
    “ La lettura dell’articolo è impegnativa, ma alla portata del lettore interessato. D’altra parte, l’imponente armamentario matematico usato fa vedere quanto siano ingenui e velleitari i tentativi dei matematici dilettanti che sperano di dimostrare teoremi o congetture profonde in teoria dei numeri con considerazioni che, nel migliore dei casi, coinvolgono solo semplici proprietà delle congruenze aritmetiche”
    Una delle conclusioni in sede introduttiva di un articolo tra le più più arroganti, insolenti e saccenti mai letta in un contesto matematico, evidentemente “parto” indolore di un geniale ignorante della Teoria dei Numeri o tutt’ al più di qualche luminare non illuminato, che chiameremo in codice “Tenido”, “ tenuto”….completamente a digiuno e al buio di tale disciplina, e che a stento avrebbe potuto gareggiare per acutezza mentale (si fa per dire!) con l’ottuso e insulso esaminatore di Galois al suo esame di ammissione all’Ecole Polytecnique (il cui nome è indegno persino di essere menzionato non solo in questo contesto, ma anche in qualsiasi altro contesto, tenuto conto che si meritò non il lancio-omaggio di un bel mazzo di fiori per la sua condotta irreprensibilmente corretta, bensì l’improvviso getto della bianca e sporca cimosa scagliatagli con l’evidente scopo di colpirlo nel punto giusto e senza alcun risparmio di forze da parte del geniale Evariste per l’evidente condotta irrazionale, arrogante e saccentemente provocatoria nei suoi confronti!).
    Una conclusione introduttiva, dicevamo, che aveva lo scopo di dissuadere i dilettanti e di incoraggiare i professionisti della disciplina, ponendo con supponenza dei limiti alla libertà individuale dei “ricercatori”non accademici ( non ci risulta che esista alcuna legge “mosaica” secondo la quale solo gli accademici possano e debbano fregiarsi di tale regale appellativo), come se tale prerogativa e tale libertà fossero appunto un’esclusiva degli abitatori delle torri eburneee accademiche che, non per puro caso, sul WEB si esprimono , o si nascondono?, quasi sempre esclusivamente dietro il rigoroso stile PDF ( sta per “ Presto Detto Fatto”, ossia “ così è se vi pare!… e più non dimandate!”).
    L’articolo cartaceo citato affrontava il problema dei numeri n area-congrui, riferendosi ai numeri interi positivi n tali che, se A,B,C sono i lati razionali di un triangolo rettangolo (A<B1 resta misterioso, anche se risultati della ricerca attuale suggeriscono che la teoria dei punti di Heegner possa contribuire a chiarirlo”… La morale della favola? Più o meno la seguente. La risoluzione a livello generale mediante la Geometria Algebrica del problema dei numeri area-congrui, risalente alla matematica greca (Diofanto), a quella medioevale (Fibonacci e i Magistri abaci) e a quella araba è ancora oggi un problema irrisolto , se si fa uso della Geometria Algebrica.
    La dimostrazione di ciò sta nel fatto che per calcolare i lati razionali dei triangoli rettangoli che hanno area n=157, n=751, n=4199…con i metodi di tale disciplina vi toccherebbe faticare più di Ercole e di Sisifo messi insieme (e non poco) per giungere
    1) ad affermare un’eresia, come nel caso di n=157,oppure
    2) a calcolare il punto di ordine infinito (per n=751, calcolato da Elkies mediante l’equazione y^2=x^3 -751^2x con y ed x funzioni di A,B,C) dato dalla coppia di razionali (569^2/17^2 ; 569*240240/17^3), per poi risalire con un procedimento tortuoso ad una soluzione razionale; oppure
    3)a constatare l’impossibilità di dimostrare che n=4199 è un numero area-congruo, ossia per concludere che è pura illusione porsi il problema del calcolo dei tre lati di un TR che abbia l’area espressa dal valore n=4199!
    Evidentemente la Geometria Algebrica si è cacciata in oscuro vicolo cieco se non riesce a decidere o a calcolare con una certa facilità i tre lati razionali di un triangolo rettangolo di area data da un numero n intero positivo …Cosa che era già apparsa chiara fin dai tempi della dimostrazione indiretta dell’Ultimo Teorema di Fermat da parte dei matematici inglesi A.J. Wiles e R. Taylor, una dimostrazione indiretta ancora oggi messa in discussione da più parti (Cina inclusa!) com’è facile rendersi conto navigando sulle rotte non anglosassoni della cultura matematica contemporanea dove vengono cantate a squarciagola le lodi dei Signori Wiles e Witten , il fisico teorico-santone della teoria delle superstringhe…per quali reconditi scopi? Forse un giorno o l’altro li scopriremo e ne parleremo.
    Dunque non è per caso se la prima dimostrazione “diretta” dell’Ultimo Teorema di Fermat a livello mondiale, ad opera di un solo autore, fu ottenuta ufficialmente il 27 dicembre 1993, dal matematico italiano Onofrio Gallo (n. 1946 a Cervinara, Valle Caudina) in solo sei pagine ( precedendo di almeno dieci mesi quella “indiretta” e non ufficiale dei due matematici inglesi ), e non è un caso se lo stesso matematico cervinarese, oltre ad aver trovato le condizioni necessaria sufficiente per la risolubilità delle equazioni legate alle curve ellittiche ( Congettura di Birch e di Swinnerton-Dyer), nel suo Codex Cervinarensis riporta il TEOREMA GENERALE nA-C DI GALLO (sui numeri n area-congrui), mediante il quale riesce ad ottenere soluzioni a volontà per i triangoli TR, sia per i numeri n del tipo n= 8r+w 8 con r naturale(anche nullo) e con w =5,6,7, sia per altri valori di n, dimostrando in ogni caso la falsità dell’asserzione del luminare patavino relativa al numero area-congruo n=157 e calcolando varie soluzioni sconosciute ai matematici nei casi n=157 (ne riportiamo ben 26 ) n=751 ( ne riportiamo ben 13) ed n=4199 ( ne riportiamo ben 23).
    Esse vengono qui rese pubbliche per la prima volta nella Storia della Matematica, anche se nel suo Codex il numero di tali soluzioni è di circa duecento, comprese quelle già trovate dai medioevali, da Fermat e da Woepcke in alcuni casi particolari, per le quali il matematico cervinarese fornisce una serie di sue soluzioni anch’esse ignote ai matematici di ogni epoca.
    Si vede subito che il teorema di Gallo consente infatti di ottenere in corrispondenza di n=157 almeno 26 soluzioni tutte di ordini inferiori a quella ritenuta erroneamente la soluzione “più semplice” di cui s’è detto.
    Caso n=157
    TR1( 2. 570 519 585×10exp12/R; 6. 403 931 177×10exp12/R; 6. 900 572 836×10exp12/R)
    con R= 2. 289 649 273×10exp11;
    TR2(2. 893 589 246×10exp11/R; 4. 762 021 159×10exp11/R; 5. 572 226 148×10expo 11/R)
    con R= 2. 094 832 375×10exp10;
    TR3 (9. 747 693 54×10exp10/R; 4. 346 013 33×10exp11/R; 4.453 987 782×10exp11/R) con R=1. 161 533 22×10exp10
    TR4 (1. 535 099 547×10exp20/R; 2. 526 335 254×10exp20/R; 2. 956 163 127×10exp20/R) con R=1. 111 345 1×10exp19;
    TR5(8. 351 798 979×10exp11/R; 2. 121 091 804×10exp11/R; 8. 616 935 454×10exp11/R) con R=2. 375 225 927×10exp10;
    TR6(3. 355 633 518×10exp10/R; 1. 150 502 292 2×10exp11/R; 1. 198 440 542×10exp11/R) con R= 3 506 439 100;
    TR7(7. 046 830 388×10exp11/R; 2. 416 056 133×10exp12/R; 2. 516 725 139×10exp12/R) con R=7. 363 522 112×10exp10;
    TR8(4. 133 785 194×10exp10/R; 2. 046 014 894×10exp12/R; 2. 046 432 448×10exp12/R) con R=1. 641 207 618×10exp10;
    TR9(1. 446 824 818×10exp12/R; 7. 161 052 129×10exp13/R; 7. 162 513 568×10exp13/R) con R=5. 744 226 66×10exp11;
    TR10(2. 031 728 58×10exp11/R; 9. 956 485 803×10exp14/R; 9.956 486 01×10exp14/R) con R=8. 026 404 824×10exp11;
    TR10(2. 011 411 294×10exp13/R; 9. 856 485 920 945×10exp16/R; 9.856 921 15×10exp16/R) con R=7. 946 140 776×10exp13;
    TR11(9. 219 680 715×10exp19/R; 1. 517 296 026×10exp20/R; 1. 775 447 086×10exp20/R) con R=6. 674 646 608×10exp18;
    TR12(6. 048 506 891×10exp13/R; 6. 139 848 989×10exp12/R; 6. 079 589 877×10exp13/R) con R=1. 087 522 149×10exp12;
    TR13(1. 453 922 702×10exp17/R; 2. 392 741 36×10exp17/R; 2. 799 839 717×10exp17/R) con R=1. 052 576 606×10exp16;
    TR14(3. 205 602 45×10exp10/R; 3. 875 217 184×10exp10/R; 5. 029 234 066×10exp10/R) con R=1 989 014 871;
    TR15(1. 923 361 47×10exp11/R; 2. 325 130 31×10exp11/R; 3. 017 540 44×10exp11/R) con R=1. 193 408 923×10exp10;
    TR16( 2. 042 095 164×10exp19/R; 9. 261 210 483×10exp16/R; 2. 042 116 165×10exp19/R) con R=7. 760 809 832×10exp16;
    TR17(2. 144 002 53×10exp19/R,; 3. 528 415 592×10exp19/R; 4. 128 736 301×10exp19/R) con R=1. 552 164 295×10exp18;
    TR18(6. 432 007 593×10exp20/R; 1. 058 524 678×10exp21/R; 1. 238 620 89×10exp21/R) con R=4. 656 492 886×10exp19;
    TR19(3. 859 204 557×10exp21/R; 6. 351 148 066×10exp21/R; 7. 431 725 34×10exp21/R) con R=2. 793 895 732×10exp20;
    TR20(5. 708 024 39×10exp12/R; 7. 123 614 439×10exp13/R; 7. 146 446 537×10exp13/R) con R=1. 137 963 386×10exp12;
    TR21(1. 528 950 356×10exp10/R; 3. 314 797 52×10exp10/R; 3. 650 420 769×10exp10/R) con R=1 270 458 171;
    TR22(1. 421 538 641×10exp11/R; 1. 574 627 418×10exp11/R; 2. 121 373 049×10exp11/R) con R=8 443 128 817;
    TR23(4. 133 396 972exp11/R; 2. 166 154 12×10exp11/R; 4.666 604 14×10exp11/R) con R=1. 688 625 763×10exp10;
    TR24(2. 396 881 085×10exp14/R; 1. 491 392 675×10exp14/R; 2. 822 553 277×10exp14/R) con R=1. 066 975 44×10exp13;
    TR25(7 798 154 832/R; 1. 012 260 483×10exp11/R; 1. 015 259 773×10exp11/R) con R=1 585 540 152;
    TR26(1. 055 889 829×10exp12/R; 1. 089 904 833×10exp12/R; 1. 517 496 582×10exp12/R) con R=6. 053 949 145×10exp10.
    Caso n=751
    TR1(4 836 308 575/R; 7 959 182 112/R; 9 313 348 513/R)
    con R=160 087 070;
    TR2(2. 23° 398 355×10exp12/R; 9. 944 240 596×10exp12/R; 1. 019 130 011×10exp13/R) con R=1, 215 184 058×10exp11;
    TR3(2. 702 467 1×10exp10/R; 1. 337 584 7×10exp12/R; 1. 337 857 7582×10exp12/R) con R=4 905 755 367;
    TR4(4. 602 369 189×10exp14/R; 2. 255 390 998×10exp18/R; 2. 255 391 045×10exp18/R) con R= 8. 313 170 384×10exp14
    TR5(2. 284 204 05×10exp10/R; 5. 482 089 72×10exp10/R; 5. 938 930 53×10exp10/R) con R=252 084 623;
    TR6(1. 383 976 606×10exp15/R; 1. 404 876 859×10exp14/R; 1. 391 088 795 x10exp15/R) con R=1. 137 754 436×10exp13;
    TR7(4. 672 577 852×10exp20/R; 2. 119 091 099×10exp21/R; 4. 672 625 904×10exp20/R) con R=2. 567 545 333×10exp19;
    TR8(2.144 613 803×10exp10/R; 2. 676 478 126×10exp11/R; 2. 685 056 481×10exp11/R) con R= 1 954 885 940;
    TR9(3. 498 436 163×10exp11/R; 7. 584 685 448×10exp11/R; 8. 352 634 485×10exp11/R) con R=1. 329 140 213×10exp10;
    TR10(1. 548 887 746×10exp11/R; 1. 715 691 042×10exp11/R; 2. 311 417 098×10exp11/R) con R=4 206 244 827
    TR11(1. 243 622 205×10exp11/R; 7. 738 093 72×10exp10/R; 1. 464 710 597×10exp11/R) con R=2 531 198 825;
    TR12(3. 680 532 612×10exp16/R; 2. 476 934 021×10exp15/R; 3. 688 857 862×10exp16/R) con R=2. 463 641 935×10exp14;
    TR13(1. 784 318 684×10exp11/R; 2. 316 182 907×10exp12/R; 2. 323 045 671×10exp12/R) con R=1. 658 775 726×10exp10.
    Caso n=4199
    TR1(9. 917 775 563×10exp10/R; 4. 407 900 25×10exp11/R; 4. 518 097 756×10exp11/R) con R=2 281 576 746;
    TR2(4. 958 887 781×10exp11/R; 2. 950 125×10exp12/R; 2. 259 048 78×10exp12/R) con R=1. 140 788 373×10exp10;
    TR3(3. 110 214 416×10exp10/R; 7. 616 851 632×10exp11/R; 7. 623 199 008×10exp11/R) con R=1 679 557 892;
    TR4(9. 330 643 249×10exp10/R; 1. 244 085 767×10exp11/R; 1. 555 107 208 x10exp11/R) con R=1 175 690 524;
    TR5(1. 572 412 455×10exp11/R; 2. 056 549 941×10exp11/R; 2. 570 687 426×10exp11/R) con R=1 943 488 418;
    TR6(1. 838 710 523×10exp15/R; 4. 580 776 476×10exp15/R; 4. 936 027 705×10exp15/R) con R=3. 166 928 773 x10exp13;
    TR7(1. 511 909 786×10exp11/R; 2. 488 171 533 x10exp11/R; 2. 911 506 273×10exp11/R) con R=2 116 484 842;
    TR8(3. 023 819 572×10exp11/R; 4. 976 343 066×10exp11/R; 5. 823 012 546×10exp11/R) con R=4 232 969 683;
    TR9(2. 069 804 497×10exp10/R; 3. 406 306 829×10exp14/R; 3. 985 852 088×10exp14/R) con R=2. 897 467 748×10exp12;
    TR10(6. 972 592 931×10exp13/R; 3. 108 733 538×10exp14/R; 3. 185 968 414×10exp14/R) con R=1. 606 574 871×10exp12;
    TR11(2. 177 150 091×10exp11/R; 5. 529 270 074×10exp10/R; 2. 246 265 967×10exp11/R) con R=1 197 264 627;
    TR12(3. 748 026 563×10exp15/R; 1. 998 947 5×10exp15/R; 4. 247 763 438×10exp15/R) con R=2. 986 854 65×10exp13;
    TR13(5. 355 598 804×10exp11/R; 2. 856 319 362 x10exp11/R; 6. 069 678 644×10exp11/R) con R=4 267 951 393;
    TR14(8. 448 357 935×10exp11/R; 4. 181 510 493×10exp13/R; 4. 182 363 863×10exp13/R) con R=6. 485 818 827×10exp10;
    TR15(1. 453 309 573×10exp14/R; 7. 121 943 488×10exp17/R; 7. 121 943 637×10exp17/R) con R=1. 110 172 317×10exp14;
    TR16(7. 934 220 45×10exp10/R; 1. 904 212 908×10exp11/R; 2. 062 897 317×10exp11/R) con R=1 341 287 721;
    TR17(7. 140 798 405 x10exp11/R; 1. 713 791 617×10exp12/R; 1. 856 607 585×10exp12/R) con R=1. 207 158 949×10exp10;
    TR18(4. 585 979 42×10exp12/R; 5. 543 939 566×10exp12/R; 7. 194 892 157×10exp12/R) con R=5. 502 212 501×10exp10;
    TR19(6. 704 416 28×10exp11/R; 8. 367 111 518×10exp12/R; 8. 393 329 183×10exp12/R) con R=2. 584 522 572×10exp10;
    TR20(1. 093 668 815×10exp13/R; 2. 371 097 702×10exp13/R; 2. 611 171 345×10exp13/R) con R=1. 757 234 431×10exp11
    TR21(4. 842 078 425×10exp12/R; 5. 363 533 024×10exp12/R; 7. 225 870 88×10exp12/R) con R=5. 561 007 156×10exp10;
    TR22(3. 887 768 021×10exp12/R; 2. 419 055 657×10exp12/R; 4. 578 926 78×10exp12/R) con R=3. 346 456 366×10exp10;
    TR23(3. 498 991 218×10exp13/R; 2. 177 150 09×10exp13/R; 4. 121 034 102×10exp13/R) con R=3. 011 810 73×10exp11.
    Non ci risulta che un siffatto numero di soluzioni ( e ci siamo limitato solo ai valori n=157, 751 e 4199) siano rapidamente ottenibili con i metodi della geometria Algebrica ( del resto basta dare uno sguardo sul WEB sul “problema dei numeri n area-congrui”…per ritrovarsi soli, smarriti e sconcertati tra l’assordante silenzio che regna nei deserti del sapere geometrico-algebrico degli esperti, indicati lungo il percorso che ognuno può compiere ad accesso casuale dai cactus sui quali spiccano i cartelli stradali PDF, a mo’ di “frecce direzionali” che non conducono da nessuna parte… Né tantomeno esistono ombre di soluzioni in merito al suddetto problema.
    Più congrui di così? Ma le cose prima o poi cambiano. E guai se così non fosse! Cominciamo intanto a colmare questa grossa lacuna sui numeri area-congrui. Il resto verrà in seguito.
    A cura di Umberto Esposito, per gentile concessione dell’Autore.

  13. Doyle Gordon ha detto:

    Haha am I really the only comment to your amazing article?!?

  14. emiliano ha detto:

    Ecco la dimostrazione matematica dei limiti della Geometria Algebrica e dei limiti dei nostri docenti universitari!Che sanno usare solo il PDF e il LNF (Linguaggio Non Formulato) in italiano…Come dice il proverbio cinese “lide bene chi lide…ultimo”. Forse dovevavmo dirlo in perfetto stile anglosassone, ma noi preferiamo il dolce idioma cinese!La lingua dei secoli futuri…Come vedi non sei”the only” . Aha!..ahha!..ahha! “Le nuvole dell’ignoranza passano più veloci nel basso cielo quando soffia il vento cinese” è un proverbio più adatto alla circostanza. D’accordo Gordon FLASH?
    Emiliano Rossi

  15. simo21098 ha detto:

    la sequenza di fibonacci è complicata

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