Mario Livio – La Sezione Aurea

Livio M., La sezione aurea, Rizzoli, 2003

sezioneaurea.jpg

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 …

Tutto cominciò quando nel XIII secolo, il matematico pisano Leonardo Fibonacci cercò di trovare una regola per lo sviluppo di una popolazione di conigli. Aveva in realtà aperto uno squarcio su un’area matematica particolarmente affascinante per la sua eleganza e bellezza.

La successione di numeri riportata prende il nome di Successione di Fibonacci, ed il criterio di sviluppo è piuttosto semplice: dati i primi due numeri 0 e 1, ogni numero successivo è la somma dei due precedenti.

Nel Seicento, Keplero notò che il rapporto tra due termini consecutivi, tende ad un valore particolare: la Sezione Aurea. Nota fin dai tempi di Euclide, si ritrova in molte opere dell’uomo come canone estetico di proporzionalità, dalle piramidi ai templi greci, così come in molte forme naturali dotate di particolare armonia e simmetria, come il guscio del Nautilius.

Ma che cos’è la sezione aurea? Perché questo numero è tanto speciale?

Possiamo ottenere la Sezione Aurea identificando quel punto che suddivide un segmento in due parti a e b tali che il loro rapporto è uguale a quello tra la maggiore e la loro somma oppure tra la minore e la loro differenza. In altre parole il segmento a è medio proporzionale tra b e (a+b). Una volta trovati a e b è possibile costruire un rettangolo avente tali segmenti come lati. E’ un rettangolo speciale e si chiama, per l’appunto, rettangolo aureo.

Ora, se costruiamo internamente il quadrato di lato a, l’area rimanente è ancora una volta un rettangolo aureo di lato a e (a-b). Ripetendo l’operazione nel nuovo rettangolo aureo, si possono costruire quadrati e rettangoli aurei uno dentro l’altro, sempre più piccoli. Le dimensioni del lato dei quadrati ripercorrono la successione di Fibonacci al ritroso, idealmente dal termine infinitamente grande al più piccolo.

Alternativamente si può partire da un piccolo quadrato con lato unitario, raddoppiarlo e, in senso antiorario, costruire sul lato lungo un quadrato pari alla lunghezza del lato. Progressivamente si avranno quadrati di lato 2, 3, 5, 8, 13…di nuovo la successione di Fibonacci!

Tracciando archi di circonferenza all’interno di ciascun quadrato, si ottiene con ottima approssimazione la Spirale Logaritmica:

spirale-logaritmica.jpg

La spirale logaritmica si ritrova in molte cose in Natura: nella conchiglia del Nautilus, nelle corna di un ariete nel volo dei falchi in avvicinamento alle loro prede e c’è chi ipotizza lo stesso andamento nei bracci di alcune galassie e nei cicloni tropicali.

Mario Livio, uno dei migliori divulgatori scientifici, ripercorre, con una narrazione affabile, le proprietà e le vicende di questo piccolo miracolo della natura, tanto mirabile che raccontarlo è ancor più affascinante che scoprirlo.

19 risposte a Mario Livio – La Sezione Aurea

  1. emiliashop scrive:

    Grazie di questo bellissimo post su questa bellissima cosa. In effetti, come sapeva Pitagora, la bellezza è nei numeri e tutto è numero e armonia.

  2. Michelangelo scrive:

    Mi fa molto piacere ricevere il tuo apprezzamento.
    Spesso la Matematica è affrontata come una disciplina arida, ma coglie aspetti profondamente poetici e filosofici.

  3. emiliashop scrive:

    E invece tutto è numero. C’è una teoria secondo cui la bellezza è algida. Col che si intende perfetta in ogni sua parte e dunque intatta, di fatto “elegante” come un’equazione perfetta. E a questo proposito mi vien da pensare all’ Universo Elegante di Greene, che ho letto, un po’ faticosamente perché mi manca la necessaria cultura matematica, ma con emozione. So che è una teoria che per il momento non ha in alcun modo alcuna dimostrazione, ma è affascinante e, secondo me, si avvicina più di molte altre alla verità. Del resto E.A. Poe, in Eureka, opera singolarissima e unica, dice che: “Ciò che oggi è dimostrato, un tempo fu solo immaginato”.

  4. Michelangelo scrive:

    Il tema è complesso e ben si presterebbe ad un post dedicato. Dal pitagorico “tutto è numero”, alla teoria delle Superstringhe, nel tentativo di decifrare scientificamente il Principio unico che governa l’universo, a costo di accettare (non è forse un atto di fede?) microcosmi con undici dimensioni.

    In tutto questo, la matematica non è che uno strumento (e non sia riduttivo questo termine) dotato di una propria bellezza intrinseca, che può essere utilizzato per rappresentare e comprendere l’universo ed i fenomeni che lo caratterizzano. Non sempre un modello matematico è l’unico strumento o il più adatto all’interpretazione dell’Universo, forse è l’unico che ne sigilla la legittimità con una dimostrazione rigorosa.

  5. emiliashop scrive:

    No, in effetti lo strumento matematico è solo uno dei tanti strumenti per la comprensione dell’universo e non credo sia nemmeno l’unico che ne comprovi la legittimità. Lo è forse nella nostra cultura, nata con la scienza di stampo galileiano, che tuttavia ora mostra delle crepe, forse non nei fondamenti del metodo, ma nelle sue applicazioni. Però la matematica è un linguaggio universale, come la musica, che ne è l’aspetto “udibile” (Torniamo sempre a Pitagora, il grande iniziato)
    Ci sono altri mezzi che pure conducono alla conoscenza, sui quali non so se sarai d’accordo, ma accettati in un lontano passato, per i cui risultati si sta dimostrando oggi un grande interesse. Del resto il valore di una categoria come strumento conoscitivo non sta nel conferirgli valore assoluto, tutt’altro, ma nella plasticità che questa categoria dimostri di avere quando necessario.

  6. Michelangelo scrive:

    Ti riferisci alla teoria del “Mulino di Amleto”?

    La chiave di lettura che fornisci circa la valenza del metodo è davvero interessante.

    D’altra parte, dove il metodo galileiano o i principi della meccanica classica si sono rivelati inadeguati è venuta meno, non la loro correttezza, ma la loro applicabilità. Le equazioni del moto ad esempio, sono casi particolari delle trasformazioni di Lorentz (per velocità molto inferiori a quelle della luce).
    Ritorna dunque il principio di modello come strumento più o meno adeguato per comprendere la realtà, unico accesso alla conoscenza.

  7. emiliashop scrive:

    Oddio, qui andiamo sul difficile per una povera letterata! Interessante definizione quella del Mulino di Amleto, ma non conosco. Mi spiegheresti?
    Io mi riferivo a quell’immenso bagaglio di miti, antica sapienza, conoscenza, che ci è stato tramandato sotto varie forme da alcune civiltà antiche: tanto per fare un esempio, alcuni aspetti della dottrina alchemica e quello sconfinato e vertiginoso territorio di consocenze che sono i Veda e le Upanishad. Ci si sta rendendo conto che, espressi ovviamente con linguaggio assai diverso dal nostro, vi sono contenuti concetti a cui solo ora la scienza occidentale si sta avvicinando.
    E poi, se non lo conosci, ti consiglio “Eureka” di E.A.Poe, che citavo. E’ un’opera che non ci si aspetterebbe da Poe, scritta un anno prima della morte, in cui, basandosi sulle scoperte fin’allora fatte nel campo della fisica e dell’astronomia, Poe traccia una sorta di trattato sulle orogini dell’universo, anticipando la teoria del Big Bang e forse persino quella della relatività.
    In quanto al metodo, hai totalmente ragione, non è il metodo in quanto tale, ma la sua rigidità che ne sta rendendo difficile l’applicabilità.
    Di fronte a nuove situazioni e necessità, se la scienza o parte di essa, rimarrà arroccata sulle proprie inflessibili posizioni, che non è atteggiamento scientifico ma oscurantista, è destinata, come molte altre cose create dall’uomo, a sparire.
    Del resto, una scienza priva di anima non serve a nessuno. Senza voler arrivare a personaggi deliranti come Zichichi…. che magari farebbe bene a tornare a scuola, seguendo qualche corsetto non solo di scienze, ma anche di grammatica e sintassi italiane.

  8. Michelangelo scrive:

    Allora, andiamo con ordine.

    Il “mulino di Amleto” è un saggio (l’ho appena cominciato…sarà dura arrivare in fondo!) che ripercorre miti e leggende, trovando punti in comune seppur appartenenti a popolazioni lontane nel tempo e nello spazio. Il libro vuole dimostrare come il Mito sia stata una prima interpretazione o lettura del mondo, dunque un primo strumento di conoscenza.

    La lettura di scienze più o meno esatte, quali l’alchimia come precursori di conoscenze è sicuramente affascinante. Tuttavia non credo che queste possano essere recuperate come fonti di conoscenza. Piuttosto possiamo osservare come molte deduzioni frutto di sperimentazioni o esperienze (senza metodo) possano essere confermate e meglio documentate dalla scienza attuale. D’altra parte l’Alchimia, alla quale mi sono appassionato per un po’, non è che l’antenata della chimica, da una parte coraggiosa e a volte ingenua, dall’altra affascinante per la sua aura di mistero.
    Tuttavia, come per la matematica dei Pitagorici, che rimane piuttosto elementare, al di là dell’aspetto di “culto”, non mi pare si possano annoverare scoperte più avanzate delle nostre.

    Nonostante questo, esistono poi prove di conoscenze o competenze che superano quelle moderne perchè il progresso non segue una crescita lineare. E’ il caso della scoperta delle maree (vedi Lucio Russo “flussi e riflussi”), intuita dai greci, fu sbagliata clamorosamente da Galilei che ne diede un interpretazione errata. Oppure è il caso dei gioelli etruschi: tuttora non si sa come facessero a lavorarli così finemente con i mezzi dell’epoca.

    Infine, dove sta andando la scienza?
    In realtà non immaginavo che con questo Blog sarei arrivato a parlare dei massimi sistemi…

  9. emiliashop scrive:

    Caro Michelangelo, vedi dove a volte conducono i sentieri laterali? Eh già… Comunque sono corsa a cercare notizie di questo Mulino di Amleto e mi sono resa conto della mia ignoranza! E’ un saggio di De Santillana e avrei dovuto conoscerlo! Dunque intanto grazie di questa preziosa indicazione e correrò a comprarlo, anche perché mi interesso di mito da sempre e ho scritto da qualche parte che il mito è uno strumento di precisione per l’analisi del passato, dato che il mito non è altro che storia eternata al di fuori del tempo e dello spazio e narrata con un linguaggio unico.
    Per il resto, credo che la nostra civiltà, che non può certo vantarsi da molti punti di vista, debba essere un po’ più umile nei confronti di un passato che molto poco conosciamo, nonostante siamo convinti del contrario.
    Tu parli di progresso. Ma quale progresso? Non certo quello delle idee, perché Indiani da un verso e Greci dall’altro, avevano “intuito” già tutto, se non dimostrato. Certo progresso tecnologico, che però è solo pericoloso se sradicato da una pari evoluzione della coscienza, che al momento non è molto visibile. Ma anche questo può essere un insegnamento per tutti noi.
    Trovo interessantissime queste “conversazioni” con te e te ne ringrazio

  10. Michelangelo scrive:

    Ho letto attentamente il tuo commento e sono sinceramente d’accordo.

    Tento una definizione di progresso: lo sviluppo delle conoscenze, finalizzate al benessere dell’umanità.
    Chiaramente molte cose sono buone o cattive a seconda dell’uso che se ne fa. E, se da una parte (progresso o no) la natura umana è sempre la stessa, dall’altra non si può negare un progresso, quantomeno in una presa di coscienza di determinati valori, al di là delle conquiste del pensiero o della tecnica.

    Il tema del “progresso” è così interessante che penso valga la pena di approfondire con un post dedicato. Ovviamente a modo mio…

  11. […] relazione che lega, attraverso una meravigliosa frazione continua, due numeri fondamentali: phi, la sezione aurea ed il famoso pi […]

  12. […] quasi quattro secoli, affinchè Keplero noti che il rapporto tra due termini successivi, tende alla Sezione Aurea svelando geometrie […]

  13. […] ci sorprende dunque che il bravo Leonardo Fibonacci non trattò mai la Sezione Aurea. Ma nonostante tutto, la incontrò, sfiorandola, ben due […]

  14. […] che non sono esprimibili con un rapporto di interi, come le radici quadrate, cubiche, come la sezione aurea o il pi greco. Sono quei numeri il cui sviluppo decimale, ossia dopo la virgola, procede […]

  15. […] soluzione di Ippocrate di Chio si basa su una catena di proporzioni che richiamano la sezione aurea, seppur in questo ragionamento non vi è nessun utilizzo di […]

  16. […] Ma soprattutto, cerchiamo di capire come tutto questo, possa aver a che fare con la Sezione Aurea… […]

  17. Pasquale scrive:

    La spirale logaritmica, quella che procede anche dalla costruzione geometrica basata sulla serie di Fibonacci, mi interessa perchè la trovo rispondente alla congettura che io mi sono costruito dell’essenza della materia. Difronte a una disciplina scientifica, ho la tendenza a pormi domande apparentemente semplici su concetti di base. Per esempio in fisica, il fatto che particelle come l’elettrone abbiano una vita di lunghezza enorme, quasi perenne, spinge a chiedermi perchè l’elettrone ha tanta vitalità ed energia? da dove la prende? Ed allora, fingendo di non sapere nulla delle moderne conquiste,(infondo non ho una cultura scientifica), ne azzaro, come novello scenziato, una per conto mio (senza presunzione o pretese), sperimentando però che il metodo è assai efficace, perchè pur restando assia lontano dalle verità scientifiche che pure già si conoscono, mi aiuta e non poco a comprendere le informazioni scientifiche e (come è successo per la ricerca del Bosone di Higs) anche certe aspettative importantissime intorno ad esperimenti che vengono proposti ed effettuati.

    Ecco l’esempio : L’origine e costituzione della materia.
    1) immaginiamo che in natura fossero esistite
    sole due forze agenti in senso opposto, ma perfattamente simmetriche rispetto all’impulso d’energia; una attrattiva, che potremmo chiamare (con termine da sempre noto) “gravità”, e unaltra repulsiva che potremmo chiamare (con termine da sempre noto) “cinetica”.

    2) Immaginiamo che in un certo punto (che dopo chiameremo tempo) la simmetria, che teneva ferreamente vincolate e inespressive nello spazio le due forze, per cui lo spazio, senza il tempo, era strettamente ripiegato su quel punto singolarissimo di equilibrio carico di energia incommensurabile) si rompe e prevale,anche di poco, l’energia cinetica.

    3) Alterata la simmetrica, l’energia cinetica tende immediatamente ad allontanarsi dal punto (i punti infiniti di una piccola singolarità sferica originaria) dove si è verificato l’evento.

    4) Nasce il tempo nel preciso “istanbte” in cui, alterandosi la simmetria, si crea il primo evento.
    5) e nasce con esso lo spazio perchè prodotto dall’energia cinetica che penetra nel vuoto assoluto.

    6) Si tratta quindi di un “campo cinetico-gravitazionale” a cui è collegato per consentire lo svilupparsi degli eventi, il tempo.

    7) Lo squilibrio simmetrico tende ad aumentare nel tempo perchè l’energia cinetica tende a prevalere sempre di più su quella gravitazionale,
    ed essa accelera fino a valori limite che sono quelli appunto della luce (in effetti la luce sarebbe un’essenza di questa particolare energia cinetica quasi del tutto priva di energia gravitazionale)

    8) è in effetti uno spazio solido, mettiamo una sorta di sfera di diametro crescente nel tempo

    9) la forza di gravità che è collegata alla forza prevalente cinetica, ha una sua ben precisa funzione, oltre quella di essere strettamente collegata alla sua opposta: funge da fulcro, o centro intrno a cui l’energia cinetica resta vincolata e acquista uno spin (un moto rotatorio), una sorta di azione a spirale ( da quì l’interesse per la spirale logaritmica)che le due forze collegate fra loro giocano, l’energia cinetica si spiralizza intorno a quella gravitazionale.
    10) ciò costituisce il formarsi della massa che è una specie di spirale appunto sorta dal collegamento fra le due forze.

    A) una prima considerazione che scaturisce da quanto sopra è che nascendo la massa dall’energia, essa può essere riconvertita (con un processo inverso a quello per la quale si è costituita)in energia. Tale riconversione o equivalenza può essere stabuilita matematicamente per via sperimentale attraverso cui si può pervenire ad una formula.

    Quì mi fero. Ora se a qualcuno interessa il proseguimento, non ha che da invitarmi a continuare…

    • Michelangelo scrive:

      Pasquale, grazie per il tuo intervento.
      Fondamentalmente i punti che esponi mi sembrano coerenti con le leggi e i principi di Newton, anche se non comprendo bene alcuni passaggi (che significa che “l’energia cinetica si spiralizza intorno a quella gravitazionale”?)

      In ogni modo continua pure e se hai voglia di trattare l’argomento in maniera più analitica sarò ben contento di discuterlo.

  18. Michele scrive:

    Io l’ho trovato un libro molto interessante, e soprattutto privo di quell’ aura misticheggiante che ho letto in altri testi simili. certo mario livio è un divulgatore di prim’ordine

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