I frattali e la sezione aurea

Così come la Curva di Koch rappresenta un buon modello per un tratto di costa, si possono costruire altri frattali per rappresentare alcune forme naturali, difficilmente raffigurabili con le forme geometriche classiche. Spesso si tratta di forme che hanno una struttura complessa e articolata, apparentemente in maniera irregolare o ramificata, proprio come un albero.

albero-frattale

Vediamo allora come costruire un frattale che possa rappresentare un albero, ma anche una qualsiasi altra struttura ramificata osservabile in natura.

Ma soprattutto, cerchiamo di capire come tutto questo, possa aver a che fare con la Sezione Aurea...

Cominciamo da una rappresentazione piuttosto elementare dell’albero frattale: consideriamo un segmento (verticale) lungo 1 unità. Aggiungiamo sull’estremità superiore altri due segmenti, rispettivamente lunghi la metà del primo e disposti in modo da formare tra loro (e con il precedente) un angolo di 120°.

Successivamente iterando l’operazione per i due nuovi segmenti, ne andremo ad aggiungere altri 4, e poi ancora altri 8 e così via. Insomma per ogni n-esima iterazione aggiungeremo 2n segmenti di lunghezza pari a (1/2)^n, dove 1/2 è il fattore di riduzione dei segmenti applicato ad ogni iterazione.

Ovviamente, questa prima semplice schematizzazione non produce un risultato realistico, ma verosimile; aggiungendo ulteriori variabili il risultato si avvicina straordinariamente a forme molto realistiche. Ad esempio possiamo ipotizzare una regola che determina il numero dei rami secondo la successione di Fibonacci, o anche orientare nello spazio i rami, formando di volta in volta angoli diversi. In tali casi il risultato sarà sorprendentemente realistico, ma il principio concettuale è fondamentalmente lo stesso.

Ora, oltre agli alberi, sono facilmente riconoscibile in una geometria simile anche altre forme naturali, come ad esempio le strutture vascolari o i bronchi. Questi ultimi in particolare, hanno una funzionalità molto importante ossia quella di veicolare l’aria nei polmoni e favorire l’ossigenazione del sangue. Per compiere l’operazione in maniera efficiente, la loro articolazione nello spazio dovrà essere quanto più estesa, ma senza ovviamente intrecci o sovrapposizioni.

Immaginando ora che in prima approssimazione, il nostro modello per rappresentare i bronchi sia proprio l’albero frattale, potremo chiederci: quale dovrebbe essere il giusto fattore di riduzione affichè lo spazio sia sfruttato al meglio? Ovvero, quale può essere il fattore di riduzione massimo, affinchè lo sviluppo dei segmenti non si sovrapponga e occupi la maggior parte di spazio?

Bene, si può dimostrare facilmente che il valore di tale fattore di riduzione è proprio pari a 1/phi, ovvero l’inverso della Sezione Aurea.

Un risultato sorprendente che ci svela la perfezione insita nella geometria complessa ed apparentemente caotica della natura.

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27 risposte a I frattali e la sezione aurea

  1. il ramaiolo scrive:

    EEhhhh mmmmhhhh boh!
    Troppo difficile per me, comunque sembra interessante! Ciao

  2. annarita scrive:

    Un post molto interessante, che va benissimo per il Carnevale della Matematica!:)…però dato che c’è tempo sino al 10/11 maggio, potresti contribuire con un altro apporto. Che ne dici?

    Un bacione
    annarita

    ps: prima del carnevale, questo articolo me lo porto sul blog, però;)

  3. Elvira scrive:

    ho scoperto i frattali solo qualche anno fa, sono interessantissimi, e dal tuo post ne ho capito qualcosa di più :)

    Pazzesca la conclusione sui bronchi :-0

  4. santa tommasa scrive:

    ciao annarita!! ieri t ho vista!!

  5. annarita scrive:

    @santa tommasa: dove mi avresti vista?

  6. Michelangelo scrive:

    @ramaiolo: tentar non nuoce! :)

    @Annarita: sicuramente ci sarà occasione

    @Elvira: sapere che questo post ti abbia aiutato nella comprensione è davvero una grande soddisfazione per me

  7. salsadisapa scrive:

    se l’avessi sentito avrei detto: è musica per le mie orecchie! ma avendolo letto dico: è arte per i miei occhi :-) quando studiavo all’università letteralmente mi intrippavo coi frattali, la sezione aurea, le geometrie non euclidee… grazie per avermi fatto intrippare di nuovo! ;-D

  8. nunzy conti scrive:

    Caro Michelangelo..
    ti aspetto nel mio blog ,c’è una sorpresa per te..
    ciao
    nunzy

  9. Michelangelo scrive:

    @salsadisapa: eh eh… io non ho perso il vizio di “intripparmi” ancora :) come poter resistere?

    @nunzy conti: grazie! sei gentilissima

  10. profemate scrive:

    Molto carino!
    Mi spieghi meglio la tua conclusione sui bronchi? Immagino che la natura ci abbia già pensato da sola senza conoscere Fibonacci…

  11. Anna righeblu scrive:

    Sempre interessanti i tuoi post sui frattali…
    … Ti auguro un ottimo weekend!
    A presto

  12. Michelangelo scrive:

    @profemate: partiamo da un assunto: l’uomo interpreta la natura con schemi, modelli, strutture. La matematica e la geometria non sono che linguaggi che riescono straordinariamente in tutto ciò.

    @anna: grazie! temevo non li leggesse nessuno! :D

  13. [...] Forse da un insieme di punti casuali e successivi una reiterazione prolungata darebbe origine a forme più intellegibili: un particolare attrattore di Henon; un sezione aurea; [...]

  14. Maurizio scrive:

    L’albero frattale è meraviglioso. Sono felice di aver conosciuto il tuo blog. :-)

  15. Anonimo scrive:

    Vedi, Maurizio, che il Carnevale della matematica crea dei circoli virtuosi?

    Baci, Miche!

    ps: passa dal blog di matematica, quando hai tempo. C’è un problema da risolvere:)

  16. Umberto Esposito scrive:

    SEZIONE AUREA UNIVERSALE DI GALLO

    Qualcuno si potrebbe chiedere se esiste una che getti un ponte tra la sezione aurea classica Φ ( espressa da un numero irrazionale nel campo dei numeri reali) e una qualche sezione aurea φ ( espressa da un numero complesso nel campo dei numeri complessi).
    La risposta a tale quesito non solo è positiva, ma sembra collegata alla Geometria Armonica del matematico italiano Onofrio Gallo (n.1946 a Cervinara, Valle Caudina), che qui non approfondiamo, a sua volta strettamente connessa alla cosiddetta , indicata dal suo autore col simbolo ΦG.
    In virtù di essa cominciano ad apparire meno misteriose certe asimmetrie ( come quella tra Φ e Φ’ e vari punti oscuri relativi a certi valori che, pur avvicinandosi al valore di Φ, spesso se ne distaccavano in modo inspiegabile fino a qualche tempo fa; in quanto le dei valori che intorno a Φ sono ora spiegabili in termini di…: era la mancanza di simmetria alla base di Φ che trascinava i valori inspiegabili degli architetti e degli ingegneri ( compresi quelli di Le Corbusier, come si vedrà) nell’orbita di ΦG. Ma come si perviene al concetto e al calcolo di ΦG ?
    Se nella proporzione divina (AU) (a-x):x=x:1 relativa alla sezione aurea di un segmento di misura a, diviso nelle due parti x ed a-x, tali che la (AU) sia verificata, prendiamo a=x-1, otteniamo
    (AU’) (x-1) : x=x:1 e quindi l’equazione corrispondente (AU’/a) x2-x+1=0 che ammette le soluzioni φ= (1+i√ 3)/2 e φ’= (1-i√ 3)/2 .
    Applichiamo ora alla φ o alla φ’ così ottenute il Principio di Disidentità di Gallo.
    Facendo perdere l’identità alla “i”, ricaviamo il valore “i” dall’espressione di φ e interpretiamo la funzione iφ= (2 φ-1)/√3 come la funzione aurea di simmetria di Gallo, per il che è sufficiente che risulti φ = Φ da un lato e, dall’altro alto, φ = -Φ’.
    In tal modo otteniamo subito.iφ = ΦG = (2 ϕ -1)/ √3= + 1,290994449..( sezione aurea universale di Gallo) e i φ = Φ’G = ( -2 Φ ’ -1)/ √3 =- ΦG (simmetrica di ΦG).
    Per cui risulta ΦG= -Φ’G ( simmetria aurea di Gallo), mentre sappiamo che tra le classiche Φ e Φ ’ sussiste solo una relazione di espressa dalla uguaglianza Φ = -1/ Φ ’ equivalente, appunto, alla Φ Φ ’=-1.
    Dunque ΦG e ΦG’ sono simmetriche.
    Tale si riflette nella costruzione del rettangolo aureo universale di Gallo RG che ha pertanto base ΦG = 1,290994449.. e altezza 1 , per cui la sua area è uguale proprio alla sezione aurea universale di Gallo ΦG =1,290994449. che differisce della quantità Δ= Φ – ΦG =0,327039539.. dall’area del rettangolo aureo classico R. Il rettangolo aureo universale di Gallo RG, la cui area è leggermente minore di quella di R, rappresentato geometricamente, esprime la armonia, in quanto è il simmetrico del rettangolo aureo universale di Gallo R’G che ha per base Φ’G orientata in senso opposto rispetto a ΦG ed altezza unitaria.
    La sezione aurea universale di Gallo è anch’essa espressa da un numero irrazionale che si può ottenere in modo approssimato mediante frazioni razionali (ad esempio il suo valore approssimato ai centesimi è dato dalla frazione razionale 443/341=1,29).
    Inoltre, tra le tante misteriose della Φ G, è possibile verificare subito che, se, tra i valori di Le Corbusier ( pseudonimo dell’architetto Charles-Edouard Jeanneret (1887-1965)), riportati nel suo Modulor (1948), un da lui ideato relativo alle proporzioni ideali in Architettura, orbitanti intorno al valore di Φ ), scegliamo solo quelli relativi all’ (senza braccio alzato), ossia i valori 183 (altezza); 140 (altezza alle ascelle), 113 (altezza all’ombelico); 86 ( altezza al pube), otteniamo che la media aritmetica [(183/140)+(140/113)+(113/86)]/3 vale 1,282(3) , un valore molto prossimo a … ΦG.
    Inoltre, se Fk è il k-mo termine della successione di Fibonacci (consideriamo i primi k=17 termini):

    1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584……
    allora sussiste il cosiddetto Teorema aureo di Gallo (1994):
    “ I valori dei rapporti Fk/2Fk-2 ( k>2) tendono al valore ΦG ( numero aureo universale di Gallo)”
    La verifica è immediata:
    F3/2F1=272=1; F4/2F2=3/2=1,5; F5/2F3=5/4= 1.25; F6/2F4=8/6=1, (3); F7/2F5=13/10=1,3; F8/2F6= 21/16=1,3125; F9/2F7=34/26= 1,307692308; F10/2F8 =55/42= 1,30952381; F11/2F9= =89/68= 1,308823529; F12/2F10= 144/110=1,309090909; F13/2F11= 233/178= 1,308988764; F14/2F12= 377/288= 1,309027778; F15/2F13= 610/466=1,309012876; F16/2F14= 987/754= 1,309018568 ; F17/2F15= 1597/1220= =1,30901639…….. → ΦG .
    dove , ad esempio 1,(3) sta per 1,333333…. (numero decimale periodico di periodo 3).
    Tale teorema potrebbe segnare l’inizio di una nuova interessante e sconvolgente svolta rispetto alla visione classica del concetto di sezione aurea, in base alla quale potrebbero essere risolti sia i degli architetti e degli ingegneri e, più in generale, sia le degli stessi matematici a livello teorico relative alle di certi valori che finiscono per orbitare ad una certa distanza dal valore del rapporto aureo classico Φ = 1,618033989…., ma che spesso misteriosamente finiscono con l’essere attratti dal creato dal (finora sconosciuto) rapporto aureo di Gallo ΦG =1, 290994449.. quasi sicuramente per una tendenza morfogenetica
    dell’evoluzione dell’universo e dei suoi fenomeni verso l’ordine sorretto a livello profondo dalla che permea inconsciamente anche la ricerca delle forme artistiche realizzate e fruibili al massimo livello estetico-psicologico da parte della mente umana.
    Fonte: CODEX CERVINARENSIS di O. GALLO ( Capitolo XV- SEZIONE AUREA UNIVERSALE, 1994, ricerca originale) su licenza dell’Autore.
    A cura di Umberto Esposito

  17. umberto Esposito scrive:

    LA CURVA FRATTALE UNIVERSALE DI GALLO

    E’ noto che la sezione aurea universale di Gallo è rappresentata dal numero aureo universale di Gallo ΦG =1, 29099449..(irrazionale).
    Se indichiamo con h il numero di sottocurve di una curva C e con k la grandezza di ciascuna delle sottocurve di C, è altresì noto che D= – logh/logk esprime la dimensione frattale di C.
    Se prendiamo h=4 e k=2.926534505 in modo tale che D=DG= ΦG =1, 29099449, allora la curva frattale C che ha dimensione DG= ΦG corrisponde alla Curva frattale universale di Gallo che nel seguito indicheremo col simbolo CG.
    Per dare un’idea della forma di CG prendiamo h=4 e k = 1/ 2.9 ( si noti che 1, 2 e 9 sono le prime tre cifre di DG= ΦG) , otteniamo in tal modo la Curva frattale quasi-universale di Gallo C‘G di dimensione D’G = 1.302203849, che differisce dalla dimensione di CG per un’approssimazione a meno di un errore per eccesso di circa 11/1000 dato da ΔG= D’G- DG= +0.011209359.
    A che cosa somiglia la curva C’G?
    Se si tiene conto che per h=4 e k=3 (valore molto prossimo a 2,9) si ottiene la dimensione DK= 1,2618595 ( con un errore per difetto pari a circa 29/1000, dato da ΔKG =DK- DG= -0.0 2913499) della ben nota curva del cristallo di neve di Koch, che nel seguito indicheremo con CK.
    Pertanto, essendo Δ = Δ KG- Δ G = 0.017925631, la Curva frattale quasi-universale di Gallo CG e la curva del cristallo di neve di Koch CK , a meno di un errore per eccesso di circa 17/1000, hanno dimensioni quasi-simmetriche rispetto a DG, ossia rispetto al numero aureo universale di Gallo.
    Se consideriamo le dimensioni di C’G e di CK approssimate ai centesimi,prendendo D’G= 1.30 , DG= 1.29 e Dk=1.26 allora la quasi-simmetria si trasforma in simmetria con un’approssimazione di 1/100 relativa alla diffrenza D’G-DG =1.30-1.29=0.01 e di circa 30/1000 relativa alla differenza DG-DK=1.29-1.26=0.03.
    In generale si ha DK< DG < D’G con un errore medio di 2/100 ossia di 20/1000.
    Dunque , in termini dimensionali, la Curva frattale universale di Gallo è compresa tra la curva del cristallo di neve di Koch e la Curva frattale quasi-universale di Gallo, essendo DK<DG<D’G.
    Sussiste altresì il seguente
    Teorema CM di Gallo sui Frattali
    “ La dimensione DM della curva frattale di Gallo CM corrispondente ai valori h=4 e k= ΦG =1,29099449 è circa il quadruplo del numero aureo universale di Gallo”
    Infatti la dimensione di CM è data da DM = log4/log 1,29099449=5,42766116 → 4 ΦG =5.16397796 con un errore per difetto di circa 263/1000.
    Osserviamo che le analoghe curve frattali C1(curva frattale aurea) e C2 (curva frattale con 4 sottocurve frattali di grandezza uguali al numero aureo classico Φ= 1.618033989 ), corrispondenti, rispettivamente, ai valori h1=4 e k1=2,355556562 ed h2=4 e k2=Φ= 1.618033989 (numero aureo classico), hanno, rispettivamente le dimensioni D1 = Φ ( con un errore per eccesso di circa 3 su 10 miliardi , cioè 0.000 000 000 3=3×10 -10 ) e D2=log4/log1.618033989 =2.88084018 pari a circa il doppio di D1 = Φ=1.618033989.
    ( Condensato dal CODEX CERVINARENSIS di Onofrio Gallo, su Licenza dell’Autore).
    A cura di U. Esposito..

  18. Michelangelo scrive:

    Umberto,
    le informazioni riportate sono errate.

    i) la proporzione(a-x):x=x:1 contiene 2 variabili e non rappresenta la proporzione aurea

    ii) ponendo a=x-1 si ottiene -1:x=x:1. Questa equazione ammette due soluzioni: +1 e -i.

    iii) anche la proporzione: (x-1):x=x:1 non rappresenta la sezione aurea di un segmento di lunghezza 1. In tal caso la proporzione sarebbe: 1-x:x=x:1. Da qui le due soluzioni reali pari a phi e Phi.

    iv) la successione F(k)/2F(k-2) non tende al valore 1,29…. ma è facilmente verificabile che converge al valore: 1,30901699437495

  19. UMBERTO scrive:

    RISPOSTA DI UMBERTO
    Michelangelo,
    le tue osservazioni meritano il seguente chiarimento e approfondimento.
    In generale, se a= segmento unitario ( il che non significa che deve essere necessariamente di lunghezza 1), allora , se risulta a=x si ha che a-x ed x sono le parti complementari di a tali che la loro somma vale proprio a. Precisato ciò, per maggior chiarezza, scriviamo x’ in luogo di x e quindi la (AUG) nella forma a: x’=x’: (a-x) con la condizione (a-x)+x’=a.
    A questo punto chiariamo il tutto con il seguente schema completo; in quanto riporta i risultati relativi ai valori di a= 1 (che dà luogo alla sezione aurea classica),a= x-1,a= x.a= x+1 e dei rispettivi simmetrici (opposti) a=-1, a=1-x, a=-x, a=-(x+1)
    a a-x x’ (AUG) a :x’=x’ : (a-x) EQUAZIONE SOLUZIONI
    1 1-x x 1 : x=x : (1-x) x2+x-1=0 Φ’ e – Φ -1 x-1 -x -1: (-x)=(-x). (x-1) x2+x-1=0 Φ’ e – Φ x-1 -1 x (x-1): x=x: -1 x2+x-1=0 Φ’ e – Φ 1-x 1 -x (1-x)(-x)=(-x):1 x2+x-1=0 Φ’ e – Φ

    x 1 x-1 x:(x-1) = (x-1): 1 x2-3x+1=0 1+ Φ e (Φ’)2 -x -1 1-x -x: (1-x)=(1-x) :-1 x2-3x+1=0 1+ Φ e (Φ’)2

    x+1 1 x (x+1):x = x:1 x2- x- 1 =0 Φ e 1 – Φ -(x+1) -1 -x -(x+1): (-x) =(- x):-1 x2- x- 1 =0 Φ e 1 – Φ
    Caso non euclideo
    x-1 (-1=)+1 x (x-1):x=x:+1 x2-x+1=0 ϕ e ϕ ‘
    dove Φ’= [(-1+√ 5)/2] = 0.618°33988…., ; -Φ = [(-1-√ 5)/2] ; [(3+√ 5)/2]=1+ Φ ; [(3-√ 5)/2]=0.38196=(Φ’)2 ; [(1+√ 5)/2] = Φ=1,618033988..; [(1-√ 5)/2] = 1 – Φ ; [(1+i√3)/2]=ϕ [(1-i√3)/2]=ϕ’.
    Quando prendiamo in (AU) a-x=x-1 non facciamo altro che ridurci al caso non euclideo, in quanto, in caso contrario, partendo dal segmento a =x-1, ci ridurremmo al caso in cui la risolvente è x2+x-1=0 con soluzioni ovviamente già note Φ’e – Φ.
    Per evitare ciò si possono seguire due strade tra loro equivalenti: la prima è quella di prendere a-x=x-1 in (AU); la seconda (caso non euclideo) è quella di applicare il Principio di Disidentità di Gallo imponendo -1=+1.in tal modo è possibile dividere in due modi diversi il segmento a=x-1; in modo euclideo, prendendo a-x= -1 ed x’=x in modo che a-x+x’=a (infatti -1+x=a) oppure in modo non euclideo, prendendo a-x(=-1)=+1 ed x’=x, ottenendo così la risolvente di Gallo x2-x+1=0 con le soluzioni complesse coniugate di Gallo ϕ = (1+i√ 3)/2 e φ’= (1-i√ 3)/2 dalle quali, come già illustrato, si ottengono le funzioni di simmetria di Gallo i.φ= (2 φ -1)/√ 3 e i.φ’= (2 φ’ +1)/√ 3. per ottenere ΦG (Sezione aurea universale di Gallo) mediante una di esse , per φ=Φ oppure per φ= – Φ’
    Infine se nel Teorema aureo di Gallo sussiste solo una convergenza approssimata (e perciò non esatta) verso il valore di ΦG (ad esempio ai millesimi con un’approssimazione per ecesso a meno di 18/1000 ) è solo con il seguente teorema, non riportato in precedenza, che tale convergenza risulta esatta:
    TEOREMA AUREO UNIVERSALE DI GALLO (1994)
    “Se Fk è il k-mo termine della successione di Fibonacci e se ϕk= (2Fk-1)/√3, allora si ha ΦG= [2 lim(ϕk/ ϕk-1) -1] /√3 per k →∞ “

  20. umberto esposito scrive:

    UN CONFRONTO TRA Φ=1.618033989 e ΦG =1, 290994449

    Un confronto tra Φ=1.618033989 ( sezione aurea classica) e ΦG =1, 290994449 (sezione aurea universale di Gallo)dà, tra gli altri, i seguenti risultati:
    1.ΦG < Φ
    2.cifre intere comuni : una (=1)
    3.cifre comuni alle mantisse: 0 (=cifra minima) e 9 (= cifra massima) in 0,1,2,…,9.
    4.ΦG e Φ iniziano entrambi con la cifra 1 e terminano entrambi con la cifra 9, essendo 1 e 9 rispettivamente il minimo e il massimo delle cifre intere positive 1,2,…,9
    5.la somma delle cifre decimali di Φ=1.618033989 (= 47) e la somma delle cifre decimali di ΦG =1, 290994449 (= 50) sono due numeri complementari rispetto alla parità ( 47 dispari, mentre 50 è pari) ed alla primalità ( 47 è numero primo, mentre 50 non è primo)
    6.se si rappresentano le frequenze delle cifre di ΦG e Φ secondo la tabella delle frequenze delle cifre di ΦG e delle cifre di ΦG,
    si può notare che le somme delle frequenze relative alle cifre 0, 1 ,2 in ΦG e Φ sono uguali a 3 (in ΦG 1+1+1 e 1+2 in Φ ), le frequenze relative alle cifre 3 , 4 sono 3 e 2 e che 3-2=1 ( 3 è la frequenza della cifra 4 in ΦG , mentre 2 è la frequenza della cifra 3 in Φ ), mentre le somme relative alle frequenze delle cifre comprese tra 6 e 9, sommate, rispettivamente, alle cifre 9 e 8 sono uguali, rispettivamente, ai due numeri primi consecutivi 13 ed 11 , in quanto 13=(frequenza 4+ cifra 9) e 11= (somma delle frequenze relative alle cfre 6,8,9 inΦ 1+1+1=)3 + cifra 8).
    Infine i numeri primi 11 e 13 sono i primi due tra i quattro primi 11, 13, 17, 19, compresi tra 10 e 20.
    ( Condensato dal CODEX CERVINARENSIS di Onofrio Gallo, su Licenza dell’Autore).
    A cura di U. Esposito..

  21. umberto esposito scrive:

    Segnalo un argomento rivoluzionario ed innovativo relativo ad nuovo concetto di primo
    NUMERI PRIMI ARMONICI DI GALLO Il concetto plurimillenario di numero primo è quello probabilmente risalente ai tempi degli Indiani (V sec. a.C.) e dei Babilonesi (Tavoletta Plimpton verso il 1700 a.C.) e dunque è noto da circa sette millenni.
    Né i matematici in tale lunghissimo arco di tempo erano mai riusciti a spezzare ciascuno degli atomi delle matematiche , i numeri primi per l’appunto, nel prodotto di 2 fattori diversi da 1 e dallo stesso numero primo.
    E’ vero che Fermat aveva spezzato alcuni tipi di numeri primi nella somma o nella differenza di quadrati o mediante espressioni binomie quadratiche, ma nessuno mai era riuscito a spezzare mediante operazioni di secondo grado un numero primo p nel prodotto di fattori diversi da 1 e da p. Solo grazie alla sua TTIE (1989), dopo sette millenni, per la prima volta nella Storia delle Matematiche, il matematico italiano Onofrio Gallo è riuscito in tale impresa.
    In che modo?
    La Teoria dei numeri primi armonici di Gallo (1994) nasce dalle ricerche relative alla dimostrazione della Congettura di Goldbach (1994) ad opera di Gallo (non valida in assoluto in quanto ottenuta sulla base di un Teorema di Landau (1909), del suo Teorema Mirabilis (1993) e del Piccolo Teorema di Fermat (lettera a Frenicle 18 ott. 1640), che purtroppo non vale sempre, oltre che su due cosiddette uguaglianze di Gallo), anche se in seguito lo stesso matematico ha dimostrato tale congettura sulla vase di un Principio di continuità operativo da lui scoperto verso la fine degli anni ’90 del secolo scorso. La Congettura di Goldbach (1742) è nota come segue:
    .
    In tale teoria, sviluppata nell’ambito dei numeri complessi, un numero p è un primo armonico di Gallo di prima specie e di classe pari se esso risulta essere la media armonica dei cosiddetti numeri armonici h e k (complessi coniugati) di Gallo, cioè se risulta p= 2hk/(h+k) con h=1-yi e k=1+yi (essendo i l’unità immaginaria o radice quadrata di -1).
    Detti primi di Goldbach i numeri primi che sono soluzioni dell’Equazione di Goldbach:
    (EG) p1 +p2 =2n con n>2 e numero naturale assegnato, la Teoria dei numeri primi armonici di Gallo (generalizzando il Teorema di Gallo relativo alla Congettura di Goldbach per le potenze dei primi di Goldbach maggiori di 1) è possibile dimostra che esistono infinite famiglie di numeri primi armonici di Gallo di classi pari e dispari.
    Oltre le colonne d’Ercole della divisibilità tra gli interi, la Teoria dei numeri primi armonicidi Gallo classifica gli stessi numeri primi in infinite classi(di ordine pari o dispari) di grado m (=1,2,3,…).

    Per m=1 (Equazione di Goldbach) si ottengono, come detto, i numeri primi armonici di Gallo di prima specie di classe pari e di grado 1 : p= 2hk/ (h+k), con h,k numeri complessi coniugati o armonici di Gallo che sono del tipo h=x-iy e k = x+iy con x =1. Se non fosse x =1, il Teorema Fondamentale di Fermat (1640), relativo ai numeri primi p del tipo 4n+1, esprimibili in un unico modo come somma di due quadrati a e b, naturali non nulli, cioè p= 4n+1 = a2 +b2 , non sarebbe più valido.
    Dunque un numero è primo simultaneamente nel campo dei numeri complessi e nell’anello degli interi se, e solo se, esso risulta esprimibile come media armonica dei numeri armonici h e k di Gallo.
    I numeri primi di Gallo di seconda specie di classe pari e di grado 1 sono espressi da
    p= (hA +kB)/(A +B)
    con A= √(3k2-1) e B=√ (3h2-1).
    Ricordiamo che, sulla base della Teoria dei numeri primi di Gallo, per la prima volta nella storia delle matematiche, lo stesso autore ha potuto estendere al campo dei numeri complessi il TUSFP oTeorema Fondamentale dell’Aritmetica (Unicità della scomposizione in fattori primi di un numero naturale (composto e non nullo): un teorema che consente di ottenere l’ identikit di ogni numero intero positivo; un risultato vanamente ed a lungo cercato da K. F. Gauss e da altri grandi matematici, soprattutto da E.E. Kummer.
    Infatti Gauss sviluppò una teoria della fattorizzazione nel campo dei numeri complessi, mediante i cosiddetti interi di Gauus, che sono numeri complessi del tipo a+ib ( a,b interi ed i=unità immaginaria=√-1) partendo dal fatto che ogni intero di Gauss g non nullo ha per fattori ± 1, ± i ,± ig.
    Orbene, se se questi sono gli unici fattori e g≠ ±1, ±i, allora g è detto .
    Per gli interi di Gauss vale perciò l’analogo del TUSFP dell’Aritmetica: “ Sia g ≠0; ± 1, ± i un intero di Gauss, allora
    g= g1 g2 ….gr con gi (i=1,….,r) primi di Gauss, determinati a meno
    dell’ordine dei fattori ± 1 e ± i.
    In base ai primi di Gauss è possibile dare una semplice dimostrazione del Teorema dei due quadrati di Fermat x 2 +y2 =n.
    Nel campo dei numeri complessi C i primi di Gauss costituiscono un sottoinsieme degli interi di Gauss.
    I primi della forma 4k-1 in Z sono ancora primi in C , ma il primo 2 e i primi della forma 4k+1 possono essere scomposti in C.
    Ad esempio 2= (1+i)(1-i), 5=2+i)(2-i), 13=(2+3i)(2-3i); 17=(4+i)(4-i).
    Uno dei motivi per cui Gauss stimava molto il suo ex-allievo e collaboratore F.G. Eisenstein ( 1823 -1852), si doveva al fatto che gli stessi primi di Gauss formano un sottoinsieme degli interi di Eisenstein, a proposito del campo d’integrità formato dai numeri della forma a+τ b , essendo t = (1-√ -1)/2 radice cubica complessa dell’equazione t 2+ t +1 =0, introdotti per la prima volta da
    già suo allievo e poi suo collaboratore.
    Si tratta di uno studio originalissimo che costituì la base di partenza per i corpi circolari ideati in seguito da Kummer.
    Qui diciamo solo che il matematico Onofrio Gallo, nel 2004, sulla base dei numeri primi di Gallo di prima specie di classe pari e di grado 1, mediante la cosiddetta funzione psi di Gallo, è riuscito ad ottenere, nel campo dei numeri complessi, una teoria parallela a quella della celebre funzione ζ (zeta) di G.B. Riemann ( 1826-1866).
    La funzione ψ( psi) di Gallo permette di comprendere, per estensione, dopo oltre un secolo e mezzo, perché la celebre Ipotesi o Congettura di Riemann (1859), uno dei sette Premi del Millennio del Math Clay Institute, tuttora (verificata computazionalmente, ma ancora) indimostrata sulla base della funzione zeta di Riemann, è tale che gli zeri di Riemann complessi hanno sempre la loro parte reale uguale ad ½ .
    In questa sede riportiamo un confronto tra gli zeri delle funzioni ψ di Gallo e ζ di Riemann:
    ZERI DELLA FUNZIONE PSI DI GALLO ψ(z)=0
    sono i valori complessi coniugati (numeri armonici di Gallo)
    tali che p = 2hk/(h+k) e con h = x-y i k= x +y i con x=1 (retta reale di Gallo)
    con x=1/2 Formula generale di Gallo h=1-i√(p-1) e k=1+i√(p-1) , con p numero primo.
    ALCUNI ZERI DELLA FUNZIONE ZETYA DI RIEMANN
    z= x+iy con x=1/2 (retta vreale di Riemann) con z1= 1/2 +i 14,134725…; z2=1/2 +i21,022040; z3=1/2 + i25,010856…
    FORMULA GENERALE z= 1/2 +iy con y reale non noto e con la parte reale x=1/2 (IPOTESI DI RIEMANN)per qualsiasi zero complesso della funzione zeta di Riemann.
    Tali risultati si trovano nel Codex Cervinarensis del matematico italiano Onofrio Gallo (n. 1946 a Cervinara, Valle Caudina) e contenuti nelle sue due memorie New”Disquisitiones” On The Number Theory e From e The Fermat’s Last Theorem To The Riemann’s Hypothesis, che si trovano presso l’Accademia Norvegese delle Scienze e delle Lettere di Oslo.
    A cura di U. Esposito

  22. umberto esposito scrive:

    L’ULTIMO “EUREKA” DI ARCHIMEDE? Potrebbe essere costituito da un messaggio “criptato”di Archimede ai posteri! E’ la suggestiva e originalissima ipotesi lanciata dal matematico italiano Onofrio Gallo (n.1946 a Cervinara, Valle Caudina) in una sua nota a margine della sua risoluzione del celebre Problema dei Buoi di Archimede, sulla base del suo TEOREMA FPG, relativo alle equazioni diofantee di Fermat-Pell di grado k (=2 , ma anche >2) con soluzioni minime ( per la prima volta nella Storia della Matematica, dopo oltre 2200 anni !) dell’ordine di 10 elevato a 17 riportata nel suo Codex Cervinarensis.Ricordiamo che lo storico delle matematiche C. Boyer (” …ma occorrebbe un volume di oltre 600 pagine per contenere i valori delle otto incognite contenute ina delle soluzioni”) e lo stesso matematico francese A. Wei era convinto che la soluzione generale del problema coinvolgesse numeri dell’ordine di 10 exp 103275; dal momento che la soluzione classica minima particolare trovata nel 1880 dal matematico tedesco A. Amthor contempla due valori interi positivi rispettivamente di 45 e di 41 cifre. Ed ecco quanto scrive Onofrio Gallo nella suddetta nota : “Partendo dai numeri gallo-archimedei sG = 2 004 659 982 (numero triangolare richiesto da Arcimede) e aG= 805 306 368 (base del numero quadrato richiesto da Archimede)e calcolando il quadrato rG del rapporto aG/ sG , otteniamo rG = 0. 161 3766 98 . Se osserviamo che r’G = 1/10 (1.618 033 989)= 0. 161 8033 98, dove il valore tra parentesi(= 1.618 033 989) è il numero aureo classico, otteniamo, da un lato, le cifre comuni ai valori rG ed r’G ( che sono le prime tre decimali (161) e le ultime due decimali (98)); e, dall’altro lato, due gruppi di quattro cifre ciascuno, non comuni ad rG e ad r’G, cioè 3766 e 8033. Se calcoliamo le differenze “binarie” 80-37=43 e 66-33=33, che, sommate tra loro (= 43+33) dànno il numero 76 ( Età di Archimede ?) e se calcoliamo la differenza “quaternaria” 8033-3766 , otteniamo il valore 4267 = 17×251 Il fattore primo 17 coincide chiaramente con il minimo ordine di grandezza 10exp17 della soluzione generale minima di Gallo, la quale potrebbe dunque rappresentare, molto probabilmente, anche il minimo ordine di grandezza della soluzione generale minima trovata(?) da Archimede. Ne sguirebbe che le due “soluzioni generali minime” del Problema dei buoi sarebbero coincidenti. Il che, anche se inverosimile, rappresenterebbe una straordinaria, inimmaginabile, fortuita e singolarissima coincidenza! Per quanto riguarda il fattore 251, anch’esso primo, mentre per Archimede esso potrebbe significare il 251-mo giorno dell’anno in cui egli risolse il problema (verso la fine della prima decade del mese di settembre), per noi posteri potrebbe indicare l’anno in cui Archimede risolse il problema : il 251 a.C., quando egli aveva circa 37 anni di età, se l’ipotesi relativa all’età di 76 anni è valida; per cui Archimede sarebbe nato nell’anno 288 a.C. (di solito la data di nascita (sconosciuta) viene fatta risalire all’anno 287 a.C.). Riassumendo, se tutto ciò fosse vero, allora Archimede sarebbe nato nel 288 a.C. ( è morto infatti nel 212 a.C.), sarebbe vissuto 76 anni e avrebbe risolto il Problema dei buoi all’età di circa 37 anni verso la fine della prima decade di settembre dell’anno 251 a.C.! EUREKA !? Era questo il “messaggio” di Archimede?” A cura di U. Esposito

  23. umberto esposito scrive:

    TRIANGOLO PITAGORICO FONDAMENTALE E TRIANGOLI PITAGORICI CONDIZIONATI – FORMULE DI GALLO
    Il matematico italiano Onofrio Gallo (n. 1946 a Cervinara, Valle Caudina) ha dimostrato che solo nel triangolo rettangolo pitagorico fondamentale (o più semplicemente “triangolo pitagorico fondamentale”) di lati x<y<z con (x,y,z)=(3,4,5)) sussiste il seguente Teorema del minimo armonico di Gallo “ Nel triangolo pitagorico fondamentale il cateto minore x è medio armonico tra l’ipotenusa e l’altezza h ad essa relativa, ossia x=2hz/(h+z)”. Onofrio Gallo ha osservato che tale circostanza potrebbe aver spinto i pitagorici alla ricerca e allo sviluppo, a livello più generale, del concetto di media armonica tra due grandezze. Lo stesso Autore prosegue: “Se poi si considera il suddetto triangolo pitagorico fondamentale vincolato dalle condizioni 1) xy=a e 2) yz=b ( a e b interi positivi) è possibile chiedersi quali sono le formule relative ai lati x,y,z. in modo tale che 3) x,y,z siano funzioni solo di a e b.”Onofrio Gallo non solo ha fornito le formule particolari relative al triangolo pitagorico fondamentale, ma ha anche stabilito le formule generali per triangoli rettangoli aventi i lati x,y,z vincolati dalle condizioni 1), 2) e 3). Personalmente conoscevo un problema ( di origine orientale, se non erro) dello stesso tipo in cui si chiedeva di esprimere solo il cateto minore x in funzione di a e b. Le FORMULE DI GALLO (LINEARI) particolari, relative solo al triangolo pitagorico fondamentale, sono : x=F-1: y=F; z= F+1 dove F= (b-a)/2; mentre per qualsiasi triangolo rettangolo pitagorico condizionato dalle 1),2) e 3) le FORMULE DI GALLO ( NON LINEARI) sono date dalle: x=a/G ; y=G; z=b/G essendo G= (b^2 –a^2)^(1/4).
    Esempi. Per a=xy=12 e b=yz=20 otteniamo G=4 e quindi x=12/4=3 :y=G=4; z=20/G=5 (triangolo pitagorico fondamentale che si ottiene anche mediante le formule di Gallo lineari x= F-1=3 ; y=F=4; z=1+F=5, essendo F= (b-a)/2 = 4). Per a=60 e b=156 mediante le formule di Gallo (non lineari) si ottengono i lati del triangolo rettangolo pitagoricodi lati (x,y,z)=(5, 12, 13) ; infatti : x=60/G=5 ; y=G=12; z=b/G=13. Per a=4680 e b= 6984 si ottengono allo stesso modo i lati del triangolo rettangolo pitagoricodi lati (x,y,z)=(65, 72, 97), l’ultimo avente ipotenusa <100.
    Un problema leggermente più difficile potrebbe essere quello che figura, come i precedenti, sempre nel Codex Cervinarensis di Onofrio Gallo e che richiede di calcolare i lati x,y,z di un triangolo rettangolo pitagorico il cui perimetro è di 90 cm, vincolato dall’unica condizione che il volume del cubo di lati x,y,z misuri 19240 cm^3. In questo caso interviene un’equazione di terzo grado che l’Autore risolve in modo fulmineo con uno dei suoi metodi, senza ricorrere alla formula del Cardano.A cura di Umberto Esposito, per gentile concessione dell’Autore.

  24. Anonimo scrive:

    IL PROBLEMA DEI BUOI DI ARCHIMEDE GENERALIZZATO -L’INFERNALE “ MATEMATICA DISFIDA” Il problema di Analisi Indeterminata più famoso dell’antichità ? E’ il cosiddetto
    “Problema dei buoi di Archimede”la cui risolvente è sempre stata identificata con un’equazione diofantea , detta di Fermat-Pell, (FP/N) y^2-Nx^2 =1 di grado k=2 (grado minimo) con N (=4729494) intero positivo non quadrato perfetto. Il Problema dei buoi di Archimede, ritenuto per quasi due millenni uno dei più difficili problemi della matematica, fu “riesumato” nella ben nota biblioteca di Wolfenbuttel, nel 1773, daI famoso letterato, filosofo e bibliotecario G. Lessing (1729-1781), il quale pubblicò un epigramma in greco formato da 22 distici, contenuto in uno dei manoscritti che gli erano stati affidati e nel quale il problema archimedeo figura nelle vesti di un <problema inviato da Archimede ai matematici , già allora nel pieno fulgore culturale sia nel campo delle lettere che in quello delle matematiche e delle scienze fisiche.
    Nulla si sa sulla risoluzione o meno del problema da parte degli accademici alessandrini, né tantomeno della sua risoluzione da parte dello stesso Archimede, che – se in suo possesso – molto probabilmente egli tenne ben nascosta da qualche parte o, nella migliore delle ipotesi, andò perduta per sempre, per cui non si sa esattamente in che modo Archimede sia pervenuto alla risoluzione del Problema dei buoi, né si conoscono le circostanze che hanno dato luogo all’ideazione del problema. Infatti, se traduciamo in relazioni algebriche il testo del Problema dei buoi di Archimede, indicando le otto incognite del problema con:
    x il numero dei buoi di colore bianco
    y il numero dei buoi di colore nero
    z il numero dei buoi di colore screziato o maculati
    h il numero dei buoi rossicci o fulvie con x’, y’, z’ h’ il numero, rispettivamente, delle vacche di colore bianco,nero, maculate e fulve,
    perveniamo al seguente sistema diofanteo indeterminato nelle seguenti sette equazioni in otto incognite:
    x = (1/2 + 1/3)y +h x’ = (1/3 + +1/4) (y+y’)
    y = (1/4 + 1/5) z +h y’ = ((1/4 + 1/5) (z + z’)
    z = (1/6 + 1/7)x +h z’ = (1/5 +1/6)(h+h’)
    h’ = ((1/6 +1/7) (x+x’)
    le quali sono esattamente verificate dalla soluzione minima di Gallo che dell’ordine di 10exp17.
    Raggiunto il , prendendo opportunamente il fattore comune alle incognite x, y, z, h uguale al valore m=4657 r (per m=1 ecc, si veda a p. 117)
    E poi r=20u come fattore comune alle x’, y’, z’ , h’, otteniamo le otto incognite del problema espresse tutte in funzione dell’unico parametro intero positivo u , così come interi postivi sono r e tutte le incognite che intervengono nel problema.
    Sulla base della soluzione minima intera positiva trovata, Onofrio Gallo ottiene facilmente che le ultime due condizioni ( il del problema)imposte da Archimede siano esattamente verificate. Il “secondo grado” del problema è costituito dalle ulteriori due condizioni imposte da Archimede rappresenatte dalle:
    A1) x + y =  = a2 (quadrato perfetto)
    A2) z + h = numero triangolare
    A questo punto Archimede concede l’alloro matematico all’eventuale solutore del suo problema.
    La soluzione generale minima di Gallo del Problema dei buoi di Archimede fornita da Onofrio Gallo è tale che risulta anche simmetricamente verificata, rispetto alla A1), anche la “simmetra di Gallo” espressa dalla G1) e che figura tra le seguenti ulteriori cinque ulteriori condizioni di Gallo :
    G1) x+y=Δ (numero triangolare)
    G2) s^2+sG^2 = TG^2 = □ (numero quadrato perfetto)
    G3) TG^2 + s^2= □ = aG^2
    G4) TG +a^2= □ = bG^2
    G5) aG^2 + bG^2 =□ = c G^2
    I triangoli pitagorici numerici T1=( s, sG , TG), T2=(TG, s, aG ), T3=( TG, a, bG ), T4=( aG, bG, cG ) sono detti, rispettivamente, triangoli numerici archimedei minimi di Gallo del primo, del secondo, del terzo e del quarto ordine.
    In particolare il triangolo numerico pitagorico T4 individuato dalla terna pitagorica archimedea di Gallo (aG, bG, cG) è detto anche triangolo pitagorico archimedeo minimo di Gallo o, semplicemente, triangolo perfetto minimo di Gallo.
    Dopo aver fornito tutte le variabili presenti nelle sue cinque condizioni aggiuntive, Onofrio Gallo, nel suo CODEX CERVINARENSIS, scrive:

    “Ma se Archimede lanciò la “ sfida” ai matematici accademici di Alessandria d’Egitto nel III sec. a.C., non vi è stato alcun accademico del secolo XX che abbia raccolto e , molto probabilmente non ve ne sarebbe stato neppure uno nel corso del secolo XXI ( e forse anche nel corso dei secoli successivi) che avrebbe potuto raccogliere la nostra “matematica disfida” relativa alle nostre cinque “condizioni “ e ai nostri due “Addendum” al Problema dei buoi di Archimede”
    (O.G. , Il Problema dei buoi di Archimede, 1995).

    A quale infernale “matematica disfida” si riferisce l’Autore?
    al seguente “primo” Addendum al Problema dei buoi di Archimede concepito dallo stesso Gallo anch’esso in versi ( otto ulteriori distici):
    “ Or che esperto sei dei buoi archimedei/
    Grande a te sarà il favore degli dei/

    Se la simmetria per caso troverai da solo/
    Senza continue frazioni e senza dolo/

    ( né ricorrendo agli esperti “indiani”,/
    né tantomeno agli “alessandrini” profani)/

    Tra i due coni retti finiti per superfici e per volumi/
    Dei quali -come aiuto- ti assegno gli apotemi/

    E nulla più a ed s (i minimi valori di Gallo)/
    Solo allor la tua gloria salirà sul divino piedistallo”:

    In tal modo il numero totale dei distici sale a trenta
    Si noti che otto erano anche i distici del “primo grado” del problema.
    Oltre alle simmetrie di Gallo che figurano nelle condizioni di Gallo G1) e G2), quelle relative al cosiddetto “terzo grado” del Problema dei buoi di Archimede, contenute nel suo primo Addendum al problema archimedeo, richiedono il calcolo dei rapporti ( in greco “simmetria” significa appunto “rapporto” o commensurabilità tra due grandezze omogenee) da un lato tra le superfici e, dall’altro lato tra i volumi di due coni circolari retti finiti, detti coni di Gallo, dei quali sono assegnati solo i rispettivi apotemi a per il primo di essi ed s per il secondo di essi, essendo a ed s i minimi valori di Gallo del “secondo grado” del problema posto da Archimede. Onofrio Gallo ha calcolato i valori a ed s , che risultano essere i cateti del triangolo rettangolo archimedeo di Gallo di cateti a ed s la cui ipotenusa è espressa dal numero intero positivo 1 517 136 152. Se ricordiamo che Archimede era particolarmente orientato a calcolare tale tipo di “simmetrie”( o rapporti) tra le figure solide euclidee da lui prese in esame, è verosimile che forse, secondo Gallo, lo steso Archimede avesse come obiettivo finale quello di proporre, oltre la soluzione del problema, anche la determinazione di un tale tipo di “simmetria”.
    Ma è chiaro che qui si tratta di ben altro.
    In quanto , per la prima volta nella Storia della Matematica, viene assegnato solo l’apotema di ciascuno dei due coni di Gallo di cui tratta il primo epigramma di Gallo.
    E’ evidente che si trattava , oltre che di una “sfida” (prima della diffusione del Teorema Mirabilis di Gallo), soprattutto di una “provocazione” (dopo la diffusione del Teorema Mirabilis di Gallo), nei confronti degli “accademici” ( gli “alessandrini profani” (= italiani) ?), in quanto tali “simmetrie” sono impossibili da ottenere senza il fondamentale Teorema Mirabilis di Gallo.

    Il “quarto grado” del Problema dei buoi di Archimede.è dettato dal “secondo” Addendum – epigramma di Gallo, composto dagli ultimi otto distici seguenti:

    “ Ed or che il tuo ingegno al terzo grado dell’Olimpo degli dei/
    E’ asceso, per aver tu calcolato i pitagorici cateti gallo-archimedei/

    Dei triangoli numerici dei generator/
    E loro simmetrie; a lato del trono d’oro di Zeus grazie ai tori/

    Per sempre siederai, se tu, come quarto e ultimo dono,/
    Paziente, saprai dirmi esattamente quanti sono/

    Siffatti e i relativi cateti gallo-archimedei/
    Entrambi pitagorici, triangolari e senza nei.”

    Pertanto l’intero Problema dei buoi, compresi i due “addendum” di Gallo (composti da 16 distici) è rappresentato da 38 distici.
    Il “quarto grado” di Gallo relativo al Problema dei buoi di Archimede richiede:
    a) il numero dei “coni di Gallo” ( s’intende a coppie)
    b) il numero dei relativi cateti gallo-archimedei che siano entrambi “numeri triangolari” e “senza nei” (in interi positivi).
    La risoluzione completa del Problema dei Buoi di Archimede “generalizzato” fu ottenuta da Onofrio Gallo nella prima metà degli anni ’90 del XX secolo in venti modi diversi con soluzioni (i cui ordini di grandezza variano da 10exp17 a 10exp43). Mentre Archimede concesse l’alloro matematico a colui che avesse risolto i due gradi del suo Problema dei buoi, Onofrio Gallo ritiene di poter concedere ai giorni nostri un simile “alloro matematico” a colui che avrà fornito la minima soluzione intera positiva del problema (comprendente il calcolo dei minimi valori di a e di s) e le soluzioni relative alle sue cinque condizioni aggiuntive ed ai suoi due “Addendum” finali. Chi accetterà l’infernale “matematica disfida”? Sintesi a cura di Umberto Esposito per gentile concessione dell’Autore.

  25. umberto esposito scrive:

    Per un disguido tecnico relativo al Problema dei buoi di Archimede generalizzato segnalo i quattro seguenti punti ERRATA-CORRIGE ( in maiuscolo i termini mancanti):
    a)Raggiunto il, prendendo= Raggiunto il PRIMO GRADO ARCHIMEDEO, prendendo;b) ultime due condizioni(il del problema)= ultime due condizioni (il SECONDO GRADO del problema); c)Dei triangoli numerici dei generator/ = Dei triangoli numerici dei “CONI DI GALLO” generatorI/; d) Siffatti e i relativi cateti gallo-archimedei/= Siffatti “CONI DI GALLO” e i relativi cateti gallo-archimedei/. A cura di U. Esposito

  26. umberto esposito scrive:

    TRIANGOLI PITAGORICI CONDIZIONATI- Un problema “impossibile”. Nel Codex Cervinarensis del matematico italiano Onofrio Gallo (n.1946 a Cervinara, Valle Caudina), nella sezione relativa ai triangoli pitagorici condizionati, figura, tra gli altri, il problema CC/16 risolto dall’Autore sulla base di un suo notevole teorema (TEOREMA GENERALE DI GALLO SULL’INDICE k) al quale restano associate due formule di Gallo che, in un triangolo rettangolo, consentono di calcolare immediatamente i valori incogniti y, z , una volta assegnati k=z-y ed il cateto x. Ed ecco il testo del problema “impossibile” CC/16 di Gallo: “Assegnato x=36, determinare la famiglia F dei triangoli rettangoli individuati dalle terne pitagoriche formate da interi positivi (x,y,z), con x ed y minori di z, verificanti le condizioni: a) x+z-y=w ; b) w intero positivo pari variabile in W=(38,40,…..,70). Calcolare infine le aree i perimetri dei triangoli rettangoli primitivi di F, se esistono”.La risoluzione di tale problema permette di individuare una famiglia di sette triangoli pitagorici di cui solo due risultano essere generati da terne pitagoriche primitive. Le loro aree e i loro perimetri sono dati dalle coppie (A1,P1)=(5184, 684); (A2,P2)=(1386, 198). A cura di U. Esposito.

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