La Sezione Aurea: un’anima irrazionale

Φ 

1,61803398874989484…

Non esiste fine né alcun criterio di regolarità per i decimali dopo la virgola. Ma come è possibile che il rapporto aureo, canone di tanta regolarità, abbia una forma così imperfetta?

Ogni qualvolta l’uomo si confronta con l’infinito, non può che provare un fastidioso disagio, dall’incapacità di comprenderlo. Arrivando fino al paradosso, come nel caso di Zenone.
Infiniti punti separano Achille dalla Tartaruga, così come infiniti numeri separano 1 da 2 e anche 1,6 da 1,7. Un’infinità di numeri razionali ed irrazionali. Proprio tra questi ultimi in una posizione assolutamente indefinita e sfuggente si trova Phi, la Sezione Aurea.

Inaspettatamente proprio là dove si trova tanta geometrica e semplice armonia, si nasconde un numero irrazionale.

E’ il caso del cerchio, la cui perfezione si cela nell’equidistanza da un punto, ovvero nel rapporto tra tale distanza e la circonferenza…il famoso pi greco. Ancora una volta un numero irrazionale.

Ma torniamo alla Sezione Aurea. Così come la diagonale del quadrato, si lega alla radice quadrata di 2, come l’altezza del triangolo equilatero è proporzionale alla radice quadrata di 3, anche per la Sezione Aurea esiste una forma che racchiude tanta irriverente irrazionalità. Troviamola.

Sappiamo che: (a + b) : a = a : b

Il prodotto dei medi è uguale a quello degli estremi: ab + b^2 = a^2

Dividiamo tutto per b^2 e poniamo x = a / b: x^2 – x – 1 = 0

Risolvendo l’equazione abbiamo due soluzioni; poiché si tratta di un rapporto tra lunghezze sarà valido il valore positivo:

phi.png 

L’irrazionalità della Seziona Aurea è dunque racchiusa nel numero 5. Eppure molte delle proprietà uniche del rapporto aureo sembrano tessiture del numero 1, peraltro, unico coefficiente dell’equazione che ha portato alla soluzione.

Aggiungendo 1 troviamo il suo quadrato, mentre sottraendolo troviamo il suo inverso, dunque l’interminabile sequenza di cifre decimali rimane inalterata sia per l’inverso che per il quadrato. Può essere espresso anche come frazione continua:

phi2.png

O attraverso una sequenza di radici nidificate, utilizzando sempre e solo il numero 1:

phi2.png 

Si ritorna infine, a forme che rappresentano, con altra eleganza, la bellezza di questo numero irrazionale, teso inevitabilmente verso l’infinito.

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9 risposte a La Sezione Aurea: un’anima irrazionale

  1. Eppure è possibile che il rapporto aureo, contrariamente alle apparenze dettate dagli irregolari decimali dopo la virgola, abbia in sé il segno aureo della perfezione.

    Ed ecco come.
    Non è mai stato studiato a scuola la concezione della «sezione aurea» in relazione a delle interessanti implicazioni facendo uso della trigonometria e poi della geometria analitica. L’inverso di 1,618033989… come si sa è 0,618033988…, ma subentrando la trigonometria si trova un angolo particolare dalle notevoli proprietà. Naturalmente lo si può chiamare «angolo aureo», anch’esso phi.
    Così avremo che phi = arcsin 0,618033988… = 38,17270763…° (gradi sessaggesimali). Quali le accennate peculiarità di quest’angolo? Che le funzioni trigonometriche del relativo coseno e tangente sono uguali fra loro. Infatti cos 38,17270763…° = 0,786151377… e tang 38,17270763…° = 0,786151377…Sorprendente vero?

    Ma c’è dell’altro se ci occupiamo della cosa servendoci della geometria analitica. Per esempio facendo intersecare un determinato cerchio con una parabola come segue. Parabola canonica: coordinate fuoco (p/2,0); direttrice x = -p/2 . 2). Cerchio: raggio r = p/2; coordinate centro (0,0) coincidente col vertice dell’origine parabola con l’asse X. 3). Se P è il punto d’intersezione della parabola col cerchio, F il fuoco della parabola e Q la proiezione di P sull’asse x, l’angolo QPF è quello che risulta, dal calcolo, pari a 38,1727076…°, l’«angolo aureo» phi, appunto.

    Detto questo le meraviglie non finiscono qui perché se l’intersezione di un determinato cerchio con la parabola appropriata, come già visto, porta all’«angolo aureo», altre intersezioni di coniche portano allo stesso scopo.
    Così può essere facendo intersecare la parabola, prima considerata di coordinate fuoco (p/2,0) e direttrice (x = –p/2), con una ellisse di coordinate centro (0,0), segmenti a = p e b = p/2, per dar luogo, appunto, ad un’ascissa, y = 0,786151138…, che è, poi, il valore della tangente dell’«angolo aureo» in questione. E poi se dividiamo giusto a metà 1,618033988…, ottenendo 0,309016994…, scopriremo che arcsin 0,309016994… = 18°. Quest’angolo ci dimostra la stretta relazione della «sezione aurea» con il pentagramma, poiché si tratta del semiangolo di ognuna delle relative cinque cuspidi.

    Ma c’è tutta la geometria, come in coro, a far trionfare la «sezione aurea» mostrando per ogni genere di curva il segno della perfezione, proprio con quella coppia del coseno e tangente uguali fra loro. Se si indaga sulla leminscata di Bernoulli, un altro meraviglioso esempio, direi, di curva aurea, si scoprira con molta facilità questo doppio segno.
    Saluti, Gaetano Barbella Il geometra pensiero in rete

  2. Michelangelo scrive:

    Caro Gaetano ti ringrazio per lo splendido intervento.

    La proprietà trigonometrica che evidenzi, della sezione aurea, può essere dedotta anche in altro modo, sfruttando la proprietà:

    phi^2 = 1 + phi

    e la basilare relazione cos^2+sin^2=1.

    Ecco come:

    posto sin_x=1/phi (scriverò per semplicità solo “sin”)

    abbiamo:

    sin^2 + cos^2 = 1

    cos^2 = 1 – 1/phi^2 = 1/phi

    da cui: cos^2 = sin

    quindi: cos = tg

    Un saluto!

  3. I TRANSFUGHI DEI NUMERI DI FIBONACCI
    C’è opinione di tanti luminari, non solo della matematica, che questa è maestra di vita. Dio geometrizza sempre, ci ha lasciato detto Platone. La scuola di Pitagora sosteneva che il numero è la legge dell’universo.
    E poi una fila di molti altri a far primeggiare la matematica fonte di ogni ben di Dio per la vita universale.
    Dal canto mio nulla di più comodo che scimmiottare la stessa cosa, ma ho modo di porre sul moggio questa scienza dei numeri e delle forme, giusto in relazione a quanto esposto sulla Sezione Aurea.
    Si tratta di una storiella che può egregiamente essere stimata una interessante metafora di vita e si intitola «I transfughi dei numeri di Fibonacci». Eccola.
    Quale migliore espressione dell’arte ad opera della matematica, se non l’uomo stesso? Si comincia sempre col partecipare al gioco della vita, ma dove i congeniali spiragli? Quelli che gli accademici in cattedra ci suggeriscono razionalmente? Vi si deve proprio credere? In realtà tutto è illusione, ma per mantenerci a galla c’è bisogno di procedere in questo modo per la semplice ragione che un incerto punto focale, inconcepibilmente stretto, uno per ogni attimo della vita che fugge via, ove tutto deve passare “morendo”, ha bisogno nei limiti del possibile che ogni cosa in transito sia prossimo, ad un inconcepito “limite”, ad una sorta di equità numerica. Altrimenti subentrano forzature, non potendosi modificare l’orifizio: di qui gioie e dolori.
    Ecco che si fa strada la matematica dei «Transfughi dei numeri di Fibonacci», con i rispettivi rapporti che devono essere sempre più approssimati alla Sezione Aurea, il top che meglio non si può, come – del resto – si sa scolasticamente.
    Tutto potrebbe risultare anche tollerabile se non fosse per il fatto che sorge una questione, quasi un dilemma. Si viene a scoprire che il problema della Sezione Aurea non si esaurisce a ciò che tutti sanno attraverso la nota formuletta phi = 2/(1+√5). E sapete chi è la guastafeste, altrimenti tutto passerebbe senza tante tragedie?
    La signora Trigonometria!
    Phi in questione, in trigonometria, corrisponde ad una funzione ben precisa, il seno di un angolo, ovviamente anche lui aureo, e non c’è lui senza altri tre, il coseno, la tangente ed il relativo inverso, la cotangente.
    Nel caso in discussione interessano il coseno e la tangente che, con nostra meraviglia, risultano perfettamente uguali fra loro. Che ne dite non è portentoso?
    Ecco quindi i due del dilemma suddetto che essendo uguali fra loro non possono evitare di passare, per così dire, uno accanto all’altro. Ma le gioie e dolori del supposto passaggio infero (come il «pertugio» dantesco) non sono imputabili a questi “due” che, grazie a Dio (ricordate «i due Testimoni vestiti di sacco» apocalittici?), sono disposti a non avere massa e carica elettrica, simili nell’insieme ad un immaginario neutrino, parafrasando la cosa in termini di fisica nucleare. Ma qui ora si tratta anche di mantenere perenne il corso della vita, altrimenti i “due” (senza lode ne’ infamia), se da un lato sono per la pace in modo assoluto, una sorta di Nirvana, dall’altro sono causa di annichilimento assoluto e l’orologio della vita non può che fermarsi.
    Paradossalmente si scopre, a questo punto, che la vita, grazie ad un miserevole guadagno prometeico sulla inesorabile morte, è nelle mani, sapete di chi? Nei vicinissimi paraggi dell’“equo” phi, 0,61803 e tanti gnomi (in realtà l’alchemico Re-bis), c’è il superbo per antonomasia che non si lega a nessuno, 0,61766, anche lui con i sui gnomi, però infidi che rivelano sempre attraverso la signora Trigonometria (sin arctg 1/4 pi greco = 0,61766…).
    Avete capito che si tratta di quelli della razza di pi greco, i luciferi della “perfetta circolarità” indisposti a cedere e per questo nel passaggio fatale si ingenerano gorghi mortali (le mitiche gorgoni non sono delle fantasie!): di qui non solo la comune morte ma anche quella della coscienza che non si conserva perché va in frantumi.
    Questi frantumi, una sorta di tanti «Nessuno» in fatto di identità umane, però sono preziosi perché si aggregano ai “due gemelli” argomentati e passano il varco ed è così che si propongono nuove concezioni nel genere umano, nuove civiltà e la vita progredisce (Ulisse e compagni “camuffati” da montoni e pecore che si beffano di Polifemo, di omerica memoria).
    Cordialità,
    Gaetano Barbella
    Il geometra pensiero in rete

  4. Michelangelo scrive:

    Caro Gaetano,
    grazie per il profuso ed interessante intervento, che ho letto (e riletto) con molta attenzione.
    Per meglio arrivare a cogliere il “quid” del tuo discorso, tento di sfrondare la retorica barocca, che rende poco agile una disquisizione matematica. Mi soffermo pertanto sulle tue parole:

    “Phi in questione, in trigonometria, corrisponde ad una funzione ben precisa, il seno di un angolo, ovviamente anche lui aureo, e non c’è lui senza altri tre, il coseno, la tangente ed il relativo inverso, la cotangente.
    Nel caso in discussione interessano il coseno e la tangente che, con nostra meraviglia, risultano perfettamente uguali fra loro. Che ne dite non è portentoso?”

    La proprietà di cui riferisci deriva immediatamente dalla proprietà (algebrica): phi^2 = 1 + phi, che altro non è che l’equazione di secondo grado dalla quale è possibile calcolare Phi.
    Il resto è una ovvia conseguenza che si ottiene ponendo in relazione biunivoca il numero Phi con il valore un angolo, attraverso la funzione arcsin. Phi è un numero e può essere messo in corrispondenza biunivoca con molti altri numeri sfruttando altre funzioni. Ma in questo non vi è nulla di sorprendente.

  5. Caro Michelangelo,
    ricambio la gratitudine per la garbata attenzione che hai posto per i miei commenti.
    Ti dico subito che hai ragione nel non sorprenderti sulla questione di phi, che – come tu dici – «è un numero e può essere messo in corrispondenza biunivoca con molti altri numeri sfruttando altre funzioni.
    Tuttavia mi aspettavo di dover sentire il tuo alt, alt quando dico, parafrasando, «Questi frantumi [relativi a pi greco], una sorta di «Nessuno» in fatto di identità umane, però sono preziosi perché si aggregano ai “due gemelli” [numeri relativi a phi]…».
    Ma com’è possibile una simile cosa quando si sa con assoluta certezza che non esiste equazione algebrica che abbia pi greco come radice?
    Non c’è nulla da fare, pi greco non solo è irrazionale, ma è anche trascendente, quindi dove la possibile relazione algebrica con i “due gemelli” di phi, mi sarei aspettato di sentirti dire!
    Eppure l’ho detta grossa ed è stato come quel «Nessuno» non intravisto dal ciclope Polifemo di omerica memoria.
    Ritornando alla mia retorica barocca – che tu hai cercato di sfrondare per comodità matematica – l’inaccettabile suddetta “aggregazione” dei “parenti” numerici di phi con quelli di pi greco può paragonarsi ad un supposto compromesso tra Dio e Mammona. Ma questo sconfinamento ai matematici può anche non piacere…o no?
    Come a concepire che le cose della matematica, essendo questa una scienza esatta che si occupa del concreto tradotto in numeri, riguardano la “giusta” realtà, mentre le cose di Dio, con tutti il rispetto e deferenza per Lui, sembrerebbe al di “fuori” di essa, non risultando tangibile, per esempio la concezione di un mondo ultraterreno, del Paradiso, Purgatorio e Inferno, ragionando secondo la religione del Cristianesimo.
    Ora svincolandoci da questo paradosso e traducendo la questione in termini matematici, un paradosso che gli somiglia potrebbe essere quello del rapporto della realtà con l’illusione.
    Di qui mi permetto ora di parlarne per riportare come i logici della matematica hanno cercato di risolvere il paradosso di questo rapporta. Naturalmente questo non vale per te, Michelangelo, ma per i lettori del tuo blog, poi potrai correggermi e perfezionare la cosa.

    Oggi c’è in atto il tentativo di svelare problematiche comuni a distanti reparti del sapere, dalla logica matematica alla musica, dall’arte all’informatica, dall’intelligenza artificiale alla psicologia. Problematiche che hanno vestito i panni propri e particolari di un determinato settore, rispettando oltretutto ed inevitabilmente le contingenze temporali di una data epoca, e che vengono ora analizzate senza veli, fuori del tempo, per giungere al contenuto autentico che esse intendono trasmettere.
    Una fra queste, problematiche tra le più affascinanti, riguarda il rapporto tra illusione e realtà: il disorientamento di fronte al capovolgimento della realtà, lo smarrimento del criterio che possa riportare l’ordine iniziale, la nascita dell’equilibrio che si ricostruisce inaspettato sopra la follia.
    Russel e Whitehead, due personaggi che hanno dato contributi fondamentali alla formazione della logica moderna, ci hanno spiegato bene con la loro “teoria dei tipi” [1] come si formano e quindi come si possono evitare questi “strani anelli” che collegando e confondendo realtà ed illusione finiscono spesso per partorire pericolosi paradossi.
    Basta creare infatti una gerarchia organizzatrice delle strutture matematiche e non solo matematiche per cui una struttura (l’insieme di tutti gli insiemi) non può appartenere a sé stessa in quanto è di un tipo superiore a quello degli oggetti che la costituiscono.
    Ecco quindi che il paradosso viene eliminato proprio perché ciascun enunciato della realtà, parlando dell’altro enunciato dell’illusione, dovrebbe appartenere ad un livello superiore a quelle dell’altro enunciato. Il paradosso smette quindi di esistere in quanto i due enunciati sono privi di significato. Ma non sono parole mie essendo quelle di un matematico, Paolo Gregorelli, i cui articoli sono apparsi anni fa spesso sul Giornale di Brescia.
    Detto questo e ritornando ai supposti “aggregati” numerici (i “parenti” di phi e phi greco), impossibili da mettere insieme. Ma considerandoli come appartenenti ai due insiemi della teoria di Russel e W., nulla ci vieta di ritenere che questo paradosso possa essere superato concependo il loro insieme degli insiemi.
    Ed ecco che il blasfemo rapporto fra Dio e Mammona non “meraviglia” per niente. E poi immaginando che Mammona abbia a che vedere con la prostituta famosa dell’Apocalisse, cosa disse l’angelo a Giovanni apostolo che si mostrava interdetto davanti ad essa? Disse rassicurandolo: «Perché ti meravigli?» [Ap 17,7] spiegandogli ne più e ne meno, le cose dell’«insieme degli insiemi» dei “fatti” di Dio e Mammona.
    Di qui, concludendo (o aprendo un acceso dibattito…!?), di certo quell’aggregazione matematica, in fondo, in fondo di phi e pi greco può essere concepibile.
    A risentirci, e con gran piacere,
    Gaetano Barbella
    Il geometra pensiero in rete

    [1] – link: “http://it.wikipedia.org/wiki/Paradosso_di_Russell”

  6. Michelangelo scrive:

    Caro Gaetano,

    innanzitutto grazie per il dotto ed interessante intevervento.

    Innanzitutto ci tengo a chiarire una cosa: hai ragione, è assolutamente forzato ipotizzare una relazione c’è tra pi greco e, come li definisci tu, “i due gemelli” di Phi!
    In realtà la cosa era passata sotto silenzio, non tanto per la natura trascendente di pi greco, quanto per una abissale distanza numerica. Infatti nei “vicinissimi paraggi di Phi” vi sono infiniti numeri razionali ed irrazionali che seperano pi greco (o meglio “sin arctg 1/4 pi greco = 0,61766″) dal valore di phi, distanza incolmabile, prendendo in prestito la logica di Zenone. E tanta distanza scoraggia ogni eventuale conciliazione tra i due numeri. O no?

    In conclusione cosa accomuna Phi e Pi Greco?: Nulla, se non un legame con forme geometriche (profondamente diverse) ma tutte caratterizzate da una indiscutibile eleganza, bellezza e regolarità.

    Veniamo ora al tema del rapporto tra realtà illusione. Mi sembra davvero un’interessante spiegazione o meglio, interpretazione del paradosso e di come è affrontato logicamente.
    Noto anche con piacere che dietro le tue parole soggiace il teorema di incompletezza di Godel e l’efficiacia di alcuni noti paradossi che ci mostrano i confini logici della matematica.
    A tale proposito ti segnalo un mio precedente post, su un libro straordinario che ti consiglio vivamente.

    Comunque sia, per tornare al tema originario, tutto questo non permette di concilare i nostri amici Phi e Pi greco.
    Nemmeno con un’Illusione.

    A risentirci, con piacere,
    Michelangelo

  7. Caro Michelangelo,
    ma è tanto importante la “distanza” che separa Phi da Pi greco – mettiamo – attraverso i relativi “parenti” numerici, tan arcsin 1/Phi e 1/4 Pi greco? O piuttosto lo è ciò che non sembra accomunarli? A riguardo tu convieni che non c’è e concludi che non c’è nulla che li concili, nemmeno l’illusione. Come dire che non c’è nulla da fare.
    Eppure, lasciando da parte la “distanza” che li separa e che appare incolmabile (ma è una cosa relativa), se si trovasse il modo di accomunarli, sarebbe un gran bel balzo in avanti, non ti pare?

    E qui ti devo rammentare che sin dal primo mio commento ho concluso in questo modo in relazione alla sezione aurea:
    «Ma c’è tutta la geometria, come in coro, a far trionfare la sezione aurea mostrando per ogni genere di curva il segno della perfezione, proprio con quella coppia del coseno e tangente uguali fra loro. Se si indaga sulla leminscata di Bernoulli, un altro meraviglioso esempio, direi, di curva aurea, si scoprirà con molta facilità questo doppio segno».

    Ecco ora comincio a dirti che là dove compare il segno della sezione aurea, ovvero di Phi come suddetto, si presenta anche il segno di Pi greco. Per non parlare della leminscata di Bernoulli che da sola è da stimarsi l’insieme dei due, e non tanto l’insieme degli insiemi, ragionando in base alla “teoria dei tipi” di Russel e W.

    Entrando nel vivo della lemniscata di Bernoulli (una particolare ovale di Cassini), congiungendo il centro con l’intersezione dell’ordinata relativa ad uno dei punti fissi (che rispetto al centro è 1/√2 dell’intera distanza fino all’estremo, considerata uguale ad 1), con la curva (in alto o in basso), si individua un segmento (polare) il cui valore è esattamente tan arcsin 1/Phi (o anche cos arcsin 1/Phi), ovvero uno dei gemelli “parenti” numerici di Phi. Questo punto di intersezione della curva (uno di quattro) può considerarsi il capolinea di un itinerario con una stazione che la precede, relativamente “distante”, quella di un punto della curva in discussione corrispondente ad un altro segmento (polare), sempre congiunto con il centro, il cui valore è 1/4 Pi greco.
    Naturalmente, prima di questo, ve ne sono tanti altri, che però non ci interessano.
    Ora questa relazione dei nostri bravi “parenti” numerici di Phi e Pi greco, attraverso appunto un certo tratto di curva (piccola o grande che sia) come va considerata? Per “ora” non c’è modo di sapere come algebrizzare la sua relazione con quella relativa a Phi, ma chissà che con qualche alchimia da venire questo potrebbe essere possibile.

    Mi viene in mente a tal proposito un certo «teorema meccanico» attribuito al famoso matematico siracusano, Archimede.
    A tal uopo occorre far capo ad una misteriosa lettera che questi, scrisse a Eramostene. Per intendere la cosa riporto di seguito un articolo su questa lettera, pubblicato sul Giornale di Brescia il 12 novembre 2003, a firma Paolo Gregorelli, un affermato scrittore di argomenti in cui è coinvolta la matematica. È un po’ lunghetto ma conta per allacciarmi poi al nostro discorso sui “due” da mettere in matematica relazione.

    «Nel 1906 il filosofo danese J.L. Heilberg ritrovò in un palinsesto a Costantinopoli il manoscritto di un’opera di Archimede andata perduta. Il titolo dell’opera era “Metodo sui teoremi meccanici”. Lo scritto si presentava sotto forma di una lettera inviata da Archimede al matematico Eratostene ed aveva uno stile più simile a quello di una comunicazione privata che a quello di un trattato destinato alla pubblicazione. Proprio per questo, forse, Archimede rinunciava al vizio di tralasciare nelle dimostrazioni i passaggi intermedi. Ma è solo lo stile a differenziare il Metodo da tutto il resto della produzione di Archimede.
    L’aspetto più importante è che il Metodo Archimede non fornisce mai alcuna dimostrazione rigorosa dei teoremi che propone, ma offre solo deduzioni compiute con l’impiego della meccanica, con un metodo che egli stesso dichiara essere privo di un valore dimostrativo.

    Nel Prop. 2 del Metodo, Archimede scrive, a questo proposito, “ciò è stato dimostrato per mezzo di quel che è stato detto; ma è stata fornita un’indicazione che induce a ritenere che la conclusione sia vera”. Con il Metodo Archimede consegna simbolicamente ad Eratostene la possibilità di “considerare questioni matematiche per mezzo della meccanica”, permettendogli di “vedere dentro la sua officina matematica”.
    Grazie al Metodo il matematico lascia che si getti uno sguardo profondo sul mistero che accompagna la dinamica dei suoi processi creativi: perché di mistero si tratta visto che la totalità dei trattati di Archimede è ricca di dimostrazioni che si susseguono secondo una fitta rete di proposizioni magicamente presentate in un ordine che è funzione del loro uso. Ciò può essere fatto solo se si conosce il risultato finale, cioè se si sa in anticipo dove si vuole arrivare.

    Solo così Archimede sarebbe giunto a dimostrare che la superficie della sfera è il quadrato del suo circolo massimo, dato che nelle Prop. 33 del libro I di “Sulla sfera e sul cilindro” egli fa vedere che la suddetta superficie non può essere né minore né maggiore di quella del circolo. Il problema perciò diventa di capire quale misteriosa via seguisse Archimede per raggiungere i suoi teoremi. E proprio per questo è stato fondamentale la scoperta del Metodo: a verificare l’esistenza di un metodo che Archimede dovette impiegare per forza maggiore per giungere ai suoi risultati. Archimede si servì infatti di un suo metodo per la conoscenza dei risultati che doveva in un secondo momento dimostrare.

    L’idea che sta alla base del Metodo consiste nel paragonare l’area incognita di una superficie con quella di una seconda figura, di area nota, di cui si conosce la posizione del centro di gravità; nel sezionare le due figure con un sistema di rette parallele che intercettano coppie di segmenti, di cui si determina grazie a considerazioni geometriche il rapporto; nel supporre che le due figure in questione siano esaurite dall’insieme di tutte le precedenti rette; e infine nel realizzare l’equilibrio tra la prima figura, per capirci quella di cui si cerca l’area, pensata con il centro di gravità in un opportuno punto, estremo di una leva il cui secondo punto è proprio il noto centro di gravità della seconda figura.

    L’utilizzo della leva, come strumento, e dell’equilibrio, come concetto, rendono evidente l’interpretazione meccanica di proporzioni geometriche. Il tutto assieme ad una decisiva dose di inventive e di fantasia geometrica, necessarie per scegliere la seconda figura per immaginare una pagina che figura come la somma di infinite linee prive di larghezza. Un’idea quest’ultima che verrà alla luce nel Seicento, grazie a Galileo e Cavalieri, e che risulterà decisiva per lo sviluppo del calcolo infinitesimale».

    Ecco, per concludere, non può essere che ora ci si possa trovare come all’epoca di Archimede che, stavolta, stila il “Metodo sui teoremi meccanici” attraverso quel tratto di strada della leminiscata di Bernoulli – mettiamo, ma potrebbero essercene altre – che separa i “parenti” numerici di Phi da quelli di Pi greco?

    Cosa ne pensi Michelangelo? Pensi che sia balzana questa mia idea? Però permetterebbe agli Ulissi da venire – una sorta di capitan futuro – di “scavalcare” l’ottusità polifemica della scienza contemporanea (una concezione relativa al futuro, naturalmente), ovvero di avere via libera per viaggiare nello spazio e così entrare nel campo gravitazionale della galassia di Pi greco? Come ad un ideale “rientro ad Itaca”!

    Ti saluto caramente,
    Gaetano

  8. lasmeninas scrive:

    Bello davvero il tuo blog. Interessanti i post che ho letto finora.

    Di quale software parli nel tuo commento?
    Se hai consigli , scrivimeli pure. Ti ringrazio. Buona serata. :)

  9. [...] In questa poetica ed emozionante equazione, trova a mio avviso soluzione il proposito emerso nei commenti al precedente post ”La sezione aurea: un’anima irrazionale”.  [...]

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